Раздел 1. Исследование операций: линейные модели в экономике

Тема 1.1. Линейные модели в операционном анализе экономических систем

Лекция 1.1.1. Основы методологии моделирования

Использование математических методов для анализа экономических ситуаций предполагает предварительное описание изучаемой экономической системы математическими соотношениями, другими словами, создание ма­тематической модели этой системы.

Большинство экономических систем представляются сложными систе­мами. Они характеризуются большим числом параметров, меняющихся во времени. Сложность анализа экономических систем в том, что существенной их составляющей являются люди, принимающие решения на основе разно­образной информации с учетом различных целей. Кроме того, экономическая система непрерывно подвергается множеству случайных, трудно прогнози­руемых возмущений как извне (изменение количества и номенклатуры по­ставок, изменение спроса и т. д.), так и изнутри (появление новых техноло­гий, поломка оборудования, несовпадение реальных сроков с планируемыми и т. д.).

В то же время экономико-математическая модель должна быть доста­точно простой и обозримой, чтобы ее можно было записать, получить необ­ходимые для записи данные, а если модель расчетная, то поместить получен­ную информацию в память ЭВМ. Математическая модель всегда «беднее» реальной моделируемой системы, всегда описывает систему лишь приблизи­тельно, выделяя одни свойства системы и пренебрегая другими. Выбор важ­нейших свойств для учета в модели представляет собой искусство моделиро­вания и определяется умением исследователя операций выделить (исходя из целей анализа) главное из большого количества факторов, цифр и соображе­ний, затрудняющих решение задачи. Исследователю операций не говорят, какие данные необходимо собрать для решения задачи, а также где и как их

найти. Часто сбор необходимых данных требует изучения таких факторов, которые на первый взгляд не имеют отношения к предложенной задаче.

Модель создается тогда, когда, по убеждению исследователя, сущест­вует некая аналогия между реальной системой и его представлениями. При отсутствии достаточной информации об исследуемых объектах или процес­сах их изучение начинается с построения простейших моделей. Модели в ис­следовании операций служат для объединения опытных факторов и нахож­дения взаимосвязи между параметрами.

Конечная цель разработки математической модели — прогноз резуль­татов проведения операции и выработка рекомендаций по возможным воз­действиям на ход ее проведения. При этом необходим четкий анализ сферы и границ применимости полученных результатов. Обычно модели создаются на основе теоретических положений или гипотез, объясняющих полученные в результате наблюдений данные. Модели не следует считать неизменными, их нужно трактовать как инструмент анализа и понимания экономического процесса или системы. Для изучения одного и того же объекта или процесса может быть предложено несколько моделей, соответствующих целям анали­за. При создании модели, обосновывающей возможное принятие решения о развитии конкретной ситуации, важное значение имеет количество выделяе­мого времени. Если требуется срочно выдать результаты, то создание слож­ной модели нецелесообразно. Во многих случаях модель нужна лишь для грубой оценки влияния отдельных факторов на результат. Подробное теоре­тическое исследование здесь также нецелесообразно.

Модель должна по возможности обладать «внутренней гибкостью», т. е. допускать возможность использования непредусмотренной новой ин­формации. Сбор и обработка исходной информации являются важной частью исследования операции. К сожалению, при решении большинства практиче­ских задач не удается собрать нужный объем данных, необходимый для соз­дания достаточно подробной модели процесса или объекта, охватывающей все аспекты задачи.

При рассмотрении экономико-математической модели оперируют сле­дующими основными понятиями: «критерий оптимальности», «целевая функция», «система ограничений», «уравнения связи», «решение модели».

Целевую функцию нельзя отождествлять с критерием оптимальности: раз­личные критерии могут описываться одной и той же целевой функцией.

Целевая функция математически связывает факторы модели (прежде всего переменные, «управляющие»).

Система ограничений определяет границы, сужающие область осуще­ствляемых, приемлемых или допустимых решений, и фиксирует основные свойства моделируемого объекта или процесса. Ограничения устанавливают границы изменения параметров — характеристик объекта.

Уравнения (соотношения) связи являются математической форма­лизацией системы ограничений.

Под критерием оптимальности обычно понимают экономический показатель, содержащий в формализованном виде конкретную цель управле­ния объектом или процессом и выражаемый математически при помощи целевой функции через факторы модели.

Таким образом, критерий оптимальности выражает содержательное, смысловое значение целевой функции. Иногда в качестве критерия опти­мальности может выступать одна из интересующих исследователя конечных характеристик объекта.

Решением экономико-математической модели обычно называют набор переменных, удовлетворяющий уравнениям связи. Решения, имеющие экономический смысл, называются допустимыми. Модели, имеющие более одного решения, называются вариантными. Среди допустимых решений ва­риантной модели находится решение, при котором целевая функция в зави­симости от смысла модели имеет наибольшее или наименьшее значение. Та­кое решение (как и соответствующее значение целевой функции) называется оптимальным.

Применение экономико-математической модели, в особенности опти­мизационной, при исследовании операций предполагает не только построе­ние модели, но и получение решения при помощи подходящего метода. По­этому иногда под моделированием (в более узком смысле) понимают этап нахождения решения. Выбор метода решения зависит от математической формы модели.

С точки зрения целей операционного анализа математические модели операций в экономике делятся на оптимизационные (нормативные) и деск­риптивные (описательные или экономико-математические модели прямого счета). Важнейший признак дескриптивной модели — отсутствие критерия оптимальности. Решение модели сводится к вычислению выходных характе­ристик объекта по заданным начальным условиям. Примерами дескриптив­ных моделей могут быть модели расчета объемов производства по видам продукции, увязки планов производства с ресурсами (балансовые модели), а также модели оперативного учета, получения форм отчетности, анализа влияния факторов, прогнозирования показателей и ряд других. Модели этого типа позволяют решать задачи анализа, предлагающие ответ на вопрос: «Что будет, если…?».

Когда перед исследованием операции стоят задачи синтеза, требующие ответа на вопрос: «При каких значениях управляющих параметров будет достигнуто…?», необходима оптимизационная модель, характерной чертой которой является наличие одной (однокритериальная модель) или несколь­ких (многокритериальная) целевых функций. В общем виде однокритериаль­ная модель может быть описана следующими соотношениями:

K = f(x_l,...,x_j,...,x_n;a_l,a₂,...,a_l)^>extr,

где K — критерий оптимальности;

/— целевая функция — формализованное описание критерия оптимально­сти;

g i — уравнения связи, i = 1,m;

xj—управляемые переменные, j = 1,n;

α_k — неуправляемые факторы модели, k = 1,l.

Решение модели заключается в нахождении множества значений управляемых переменных

* _т * * *

X *т= ,..., xj _* ,…,_x n_* ) ,

обращающих в max или min целевую функцию и удовлетворяющих уравне­ниям связи.

Учет специфики конкретных операций определяет разнообразные оп­тимизационные экономико-математические модели. Однако для некоторых часто повторяющихся ситуаций разработаны общие методы построения мо­делей. Исторически и содержательно наибольший интерес представляют ли­нейные модели, т. е. те модели, в которых целевая функция и уравнения свя­зи являются линейными функциями.