Основные свойства и характеристики элементов мв мм
Матричные компоненты МВ ММ. В выражении (15) матрица является «системообразующей» и носит название системной матрицы. Ее структура и значения элементов задают фундаментальные свойства ДС. Место в модели определяет ее структуру, и оценки собственных свойств ДС, формируемых на ее основе. Во-первых, - всегда квадратная
матрица, где
- порядок ДУ - ММ ДС, (порядком ДС).
Во-вторых,
распределяет влияние ПС
на закон движения ДС
(ее нули исключают некоторые ПС
уравнений). В-третьих, от знаков и
значений элементов
зависят свойства ДС (устойчивость,
управляемость, наблюдаемость).
Матрица
в (15) называется матрицей управляющих
входов
или матрицей управления.
Матрица является в (15) матрицей возмущающих входов или матрицей возмущения.
По
выполняемой в уравнении (15) функции
матрица
называется матрицей наблюдения
по состоянию.
Аналогично матрица
называется матрицей наблюдения
по управлению.
Наконец,
естественно назвать матрицей наблюдения
по возмущению.
Из шести матриц, формирующих свойства ММ линейной ДС, самый значительный вклад в эти свойства реализует системная матрица . Она полностью определяет собственные свойства ДС, не зависящие от входов.
Системная матрица, характеристические функции и числа. Из теории линейных ДС известно, что все индивидуальные, внутренне присущие им свойства определяются однородным ДУ. Такое уравнение может рассматриваться как ММ ДС исследования ее при отсутствии (
)
входных воздействий. Тогда из уравнения
состояния (4.16-а) исключаются компоненты,
не содержащие х. Тогда оно может
быть записано в форме
|
(4.17) |
,где получила название системной матрицы, а ее структура и элементы полностью определяют динамические свойства описываемой системы.
Свойства системной матрицы
а)
Естественным
свойством
является то, что она – квадратная
матрица.
б) Матрица имеет бесконечное множество подобных ей матриц
|
(4.18) |
,
где
- неособая
матрица.
Из свойств а) и б) вытекает важнейшее для анализа и синтеза систем управления в пространстве состояний, свойство.
в)
Любая матрица
подобна
и является системной матрицей уравнения
эквивалентного (4.17) в базисе
.
Действительно,
.
Характеристические функции системной матрицы
При исследовании (4.17), как ММ ДС в пространстве состояний, в практику решения ЛДУ введен ряд дополнительных математических конструкций, позволяющих эффективно оценить глубинные свойства этой ММ. Поэтому все они определены «характеристическими», т.к. их оценки характеризуют динамические свойства системы. На задачах о «характеристических значениях матрицы » основывается множество алгоритмов анализа и синтеза САУ.
Уравнение
(4.17) задает преобразование вектора
в вектор
.
Если существует вектор
,
который преобразованием
переводится в вектор
,
пропорциональный
,
то он так же направлен в векторном
пространстве
|
(4.19) |
где - скаляр, являющийся коэффициентом пропорциональности.
Эта задача известна как задача о характеристических числах, а уравнение (4.19) представляет собой систему однородных линейных уравнений, которую можно записать единым матричным выражением
|
(4.20) |
,
решение
которого отвечает на поставленный выше
вопрос и зависит от свойств матрицы
.
Следовательно, данная матрица характеризует
свойства и решения уравнения (4.17) вообще,
и системной матрицы
,
в частности.
Матрица, построенная на основе по формуле
|
(4.21) |
,называется характеристической матрицей для .
Прямым
следствием свойств
являются свойства матрицы
.
Например, характеристическая матрица
квадратной матрицы
является квадратной
матрицей, а характеристическая матрица
матрицы
,
подобной
,
подобна матрице
.
Кроме того, характеристическая матрица
служит основой для введения другого
важного понятия.
Система однородных уравнений (4.20) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю. Но матрица коэффициентов – это и есть характеристическая матрица. Таким образом, условием решения (4.20) является равенство
|
(4.22) |
.Легко убедиться, что определитель в левой части представляет собой полином от переменной , т.к. матрица (4.21) имеет вид
|
(4.23) |
.Определитель характеристической матрицы
|
(4.24) |
называется характеристическим полиномом матрицы .
Этот полином имеет ряд теоретически и практически важных свойств.
а) Характеристический полином представляет собой многочлен степени по степеням переменной .
Особый
интерес представляют коэффициенты
характеристического полинома (4.24)
,
и
.
б)
Для любого характеристического полинома
выполняются условия
и
.
в)
Подобные матрицы имеют тождественные
характеристические полиномы. Если
,
то
.
г) Характеристический полином клеточной распавшейся или полураспавшейся матрицы равен произведению ХП диагональных клеток
,
где
-
-
единичные матрицы.
Характеристический полином, согласно (4.22), позволяет построить уравнение, анализ которого дает ответы на большинство вопросов относительно собственных свойств ДС. Уравнение относительно переменной
|
(4.25) |
,называется характеристическим уравнением линейной стационарной системы (4.17), или характеристическим уравнением матрицы .
Результатом решения (4.25) является некоторый набор чисел, вид и значения которых тесно связаны с динамическими свойствами системы.