§ 4.2. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре без активного сопротивления

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R.

В этом параграфе рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R0). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q. Тогда в начальный момент времени t=0 (рис. 4.3, а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого Q². Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (она равна — возрастать.

Так как R0, то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия

так как она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент t=¼T, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает наибольшего значения (рис. 4.3, б). Начиная с этого момента, ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в конце концов обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис. 4.3, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 4.3, г) и система к моменту времени t=Т придет в первоначальное состояние (рис. 4.3, а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разряд­ки и зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т.е. периодически изменялись (колебались) бы заряд Q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, причем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механи­ческими колебаниями маятника (рис. 4.3 внизу), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора (Q²/(2C)) аналогична потенциальной энергии маятника, энергия магнитного поля катушки (LQ²/2) — кинетической энергии, сила тока в контуре — скорости движения маятника. Индуктивность L играет роль массы т, а сопротивление контура — роль силы трения, действующей на маятник.

(Согласно закону Ома, для контура, содержащего катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью С и резистор сопротивлением R,

где IR—напряжение на резисторе, Uc=Q/C—напряжение на конденсаторе, – э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока ( – единственная э.д.с. в контуре). Следовательно,

(4.9)

Разделив (4.9) на L и подставив получим дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в контуре:

(4.10))

Рис. 4.3

Если в колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, то колебания представляют собой свободные колебания. Т.к. в нашем колебательном контуре сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (4.10) получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре.

Откуда видно (решение относительно заряда Q), что заряд Q совершает гармонические колебания по закону

(4.11)

где Q_m — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой ₀, называемой собственной частотой контура, т. е.

(4.12)

и периодом

(4.13)

Формула (4.13) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона. Сила тока в колебательном контуре (см. (4.4))

(4.14)

где I_m=₀Q_m — амплитуда силы тока. Напряжение на конденсаторе

(4.15)

где U_m=Q_m/C—амплитуда напряжения.

Из выражений (4.11) и (4.14) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на /2, т.е., когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение (см. (4.15)) обращается в нуль, и наоборот.