Подставляя найденные значения в формулу (5), получим

Ответ: 2,95.

Остановимся на дифференцировании сложной функции. Пусть z = f (x,y)- функция двух переменных x и у, каждая из которых в свою очередь является функцией независимой переменной t: x = x(t), y = y(t) . Тогда функция z =

f (x(t),y(t)) является сложной от t , а x и у - промежуточными переменными.

Пусть функции x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t , а функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M(x(t),y(t)) . Тогда производная сложной функции вычисляется по формуле:

(6)

В частности, если t совпадает с одним из аргументов, например, с переменной x, то полная производная функции z по x запишется

(7)

Задача 7. а) Дана сложная функция

где x = lnt, y = sint.

Найти

Решение. По формуле (6) получим

Далее подставляя вместо x и у соответствующие выражения через переменную t, окончательно получим

Замечание. С другой стороны можно найти, предварительно выразив z через t. В самом деле:

б) Найти полную производную если где

Решение. Сначала находим

Затем по формуле (7) получим

Далее рассмотрим задачу на касательную плоскость и нормаль. Предварительно напомним, что плоскость, проходящая через точку поверхности, называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке, если угол между секущей, проходящей через точку и любую точку поверхности, и плоскостью стремится к нулю, когда точка стремится к точке . Прямая, проходящая через точку ортогонально касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в точке .

Пусть дана поверхность уравнением F(x,y,z) = 0 . Предположим, что в точке этой поверхности функции F(x,y,z) дифференцируема. Тогда уравнение касательной плоскости в точке к данной поверхности определяется уравнением:

(8)

Уравнение нормали в точке имеет следующий вид:

(9)

Пусть уравнение поверхности задано в явной форме z = f(x,y), если f(x,y) дифференцируема в точке , то уравнение касательной плоскости в этой точке запишется