25. Корреляционный и регрессивный анализ. Функциональная и корреляционная зависимость.

Для исследования интенсивности, вида и формы зависимостей применяется корреляционно-регрессионный анализ, который является методическим инструментарием при решении задач прогнозирования.

Различает два вида зависимостей между процессами:

1) функциональную;

2) корреляционную (стохастическую, статическую).

Статической называется зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой величины.

Односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами есть регрессия.

Исследование корреляционных связей называется корреляционным анализом, а исследование односторонних стохастических зависимостей – регрессионным анализом.

Целью корреляционного анализа является оценка тесноты связи между признаками.

Целью регрессионного анализа является установление формы зависимости.

Парная регрессия – это уравнение связи двух переменных у и х:

y=f(х), где у – зависимая переменная (результат);

х – независимая, объясняющая переменная (фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия: у=а+bх.

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

1) полиномы разных степеней

2) равносторонняя гипербола

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

1) степенная

2) показательная

3) экспоненциальная

26. Коэффициент линейной корреляции и его свойства.

Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(x) и φ(x) являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми; они называется прямыми регрессии.

Для достаточно полного описания особенностей корреляционной зависимости между величинами недостаточно определить форму этой зависимости и в случае линейной зависимости оценить ее силу по величине коэффициента регрессии. Например, ясно, что корреляционная зависимость возраста Y учеников средней школы от года Х их обучения в школе является, как правило, более тесной, чем аналогичная зависимость возраста студентов высшего учебного заведения от года обучения, поскольку среди студентов одного и того же года обучения в вузе обычно наблюдается больший разброс в возраcте, чем у школьников одного и того же класса.

Для оценки тесноты линейных корреляционных зависимостей между величинами Х и Y по результатам выборочных наблюдений вводится понятие выборочного коэффициента линейной корреляции, определяемого формулой:

 (7)

где σ_X и σ_Y выборочные средние квадратические отклонения величин Х и Y, которые вычисляются по формулам:

 (8)

Следует отметить, что основной смысл выборочного коэффициента линейной корреляции r_B состоит в том, что он представляет собой эмпирическую (т.е. найденную по результатам наблюдений над величинами Х и Y) оценку соответствующего генерального коэффициента линейной корреляции r: r=r_B(9)

Принимая во внимание формулы:

видим, что выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид:

 (10)

где  . То же можно сказать о выборочном уравнений линейной регрессии Х на Y:

 (11)

Основные свойства выборочного коэффициента линейной корреляции:

1. Коэффициент корреляции двух величин, не связанных линейной корреляционной зависимостью, равен нулю.

2. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, равен 1 в случае возрастающей зависимости и -1 в случае убывающей зависимости.

3. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, удовлетворяет неравенству 0<|r|<1. При этом коэффициент корреляции положителен, если корреляционная зависимость возрастающая, и отрицателен, если корреляционная зависимость убывающая.

4. Чем ближе |r| к 1, тем теснее прямолинейная корреляция между величинами Y, X.

По своему характеру корреляционная связь может быть прямой и обратной, а по силе – сильной, средней, слабой. Кроме того, связь может отсутствовать или быть полной.

Сила и характер связи между параметрами

Сила связи	Характер связи
	Прямая (+)	Обратная (-)
Полная	1	-1
Сильная	От 0,7 до 1	От -0,7 до -1
Средняя	От 0,3 до 0,7	От -0,3 до -0,7
Слабая	От 0,3 до 0	От -0,3 до 0
Связь отсутсвует	0	0