Определение

Линейное, или векторное пространство   над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества   ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый   и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу   и любому элементу   ставится в соответствие элемент из  , обозначаемый  .

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. , для любых   (коммутативность сложения);

2. , для любых   (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент  , что   для любого   (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

4. для любого   существует такой элемент  , что   (существование противоположного элемента).

5.  (ассоциативность умножения на скаляр);

6.  (умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7.  (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.

2. Нейтральный элемент   является единственным, что вытекает из групповых свойств.

3.  для любого  .

4. Для любого   противоположный элемент   является единственным, что вытекает из групповых свойств.

5.  для любого  .

6.  для любых   и  .

7.  для любого  .

43. Определение базиса линейного пространства. Теорема о единственности разложения вектора по данному базису.

  Базис - любая упорядоченная система   из n линейно независимых векторов пространства  .

     Обозначение: 

     Для каждого вектора   существуют числа   такие что

     Числа   называются координатами вектора   в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора   в этом базисе. Употребляется запись: 

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

   Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и  –базис  . Возьмем произвольный вектор  . Так как оба вектора   и  коллинеарные одной и той же прямой L, то  . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как  , то найдется (существует) такое число  , что   и тем самым мы получили разложение вектора   по базису   векторного пространства 

44. Координаты вектора линейного пространства в данном базисе. Способ определения линейно зависимости векторов линейного пространства.

. Пусть e₁,e₂,…,e_n – базис пространства V, x,y – произвольные элементы пространства V. При сложении элементов их координаты складываются, при умножении произвольного элемента х на любое число l все координаты этого элемента умножаются на l.

[Док-во]: x=a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n=_i=1åⁿa_ie_i=(e₁,e₂,…,e_n)(a₁,a₂,…,a_n).

y=b₁e₁+b₂e₂+…+b_ne_n=_i=1åⁿb_ie_i=(e₁,e₂,…,e_n)(b₁,b₂,…,b_n).

1) x+y= _i=1åⁿa_ie_i+_i=1åⁿb_ie_i=_i=1åⁿ(a_I+b_I)e_i=(e₁,e₂,…,e_n)(a₁+b₁,…,a_n+b_n)= (a₁+b₁)e₁+…+(a_n+b_n)e_n;

2) lx=l* _i=1åⁿa_ie_i= _i=1åⁿla_ie_i=(e₁,e₂,…,e_n)(la₁,…,la_n)= (la₁)e₁+…+(la_n)e_n

[Лемма]: Пусть e₁,e₂,…,e_n базис в пространстве V, f₁, f₂,…, f_n – элементы пространства V. Векторы f₁, f₂,…, f_n линейно зависимы в том и только том случае, когда линейно зависимы столбы их координат.

[Док-во]: f₁= (e₁,e₂,…,e_n)(a₁,a₂,…,a_n)

l₁f₁+l₂f₂+…+l_nf_n=(e₁,e₂,…,e_n)[l₁(a¹₁,a¹₂,…,a¹_n)+…+l_n(aⁿ₁,aⁿ₂,…,aⁿ_n)] => вектора f₁,f₂,…,f_nлинейно зависимы в том и только том случае, когда l₁(a¹₁,a¹₂,…,a¹_n)+…+l_n(aⁿ₁,aⁿ₂,…,aⁿ_n) = (0,0,…,0) а это значит, что столбцы их координат должны быть линейно зависимыми.

  Система векторов e₁,e₂, ..., e_k линейного пространства L называется линейно независимой системой, если равенство С₁·e₁+С₂·e₂+ ...+С_k· e_k = 0 возможно только когда все коэффициенты С₁, С₂, ..., С_k равны нулю.

Здесь 0 — нулевой вектор линейного пространства L, С₁, С₂, ..., С_k — числовые коэффициенты.

  Если система векторов e₁,e₂, ..., e_k линейного пространства L не является линейно независимой системой, то она называется линейно зависимой системой векторов.

45. Связь между базисами линейного пространства. Матрица перехода (теорема о невырожденной матрицы перехода)