2 Построение математической модели для определения держащей силы якоря с использованием математических методов планирования эксперимента

На держащую силу якорей F наибольшее влияние оказывают три фактора: длина веретена l, длина стойки h и угол атаки лапы α.

1-веретено, 2-стойка, 3-лапа

Рисунок - Схема запашного якоря со смещенной лапой

Входными факторами (х) являются α, l, h, выходным параметром (y) – держащая сила F. Входные факторы задаются интервалами варьирования. Верхний уровень факторов варьирования обозначают +I, нижний –I.

Выполняем эксперимент в грунтовом бассейне (рисунок ) и записываем показания держащей силы якоря по динамометру в таблицу 1.

Таблица 1 – Измерение держащей силы якоря

№ опыта	Входные факторы			Выходные параметры
	x1	x2	x3	y1	y2	y3	y4	y5
1	+I	+I	+I	270	300	270	260	272	274,4
2	-I	+I	-I	180	190	170	190	181	182,2
3	+I	-I	-I	200	200	190	200	200	198
4	-I	-I	+I	310	300	300	330	330	312
5	+I	+I	-I	180	190	190	180	187	185,5
6	-I	+I	+I	290	300	300	290	292	294,4
7	+I	-I	+I	290	260	250	260	267	265,5
8	-I	-I	-I	190	190	190	180	187	187,4

Таблица 2 – Расчетная матрица для определения коэффициентов уравнения регрессии

№ опыта
1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	274,4
2	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	182,2
3	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	198
4	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	312
5	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	185,5
6	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	294,4
7	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	265,5
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	187,4
	b0	b1	b2	b3	b1,2	b1,3	b2,3	b1,2,3

Коэффициенты уравнения регрессии рассчитываем по формулам:

Для примера расчета раскроем формулу для определения коэффициента:

b₁ = 6,6;

b₃ = -4,25;

b_1,2 = 2,4;

b_1,3 = 1,15;

b_2,3 = -10,05;

b_1,2,3 = -49,15.

Оценка воспроизводимости (однородности) опытов

Для каждого опыта по результатам серии экспериментов подсчитывают значение построчной дисперсии:

где y_i, – держащая сила в каждом конкретном эксперименте серии и ее среднее арифметическое значение соответственно.

№
1	19,36	655,36	19,36	207,36	5,76	907,2
2	4,84	60,84	148,84	60,84	1,44	276,8
3	4	4	64	4	4	80
4	4	144	144	324	64	680
5	29,16	21,16	21,16	29,16	2,56	103,2
6	19,36	31,36	31,36	19,36	5,76	107,2
7	605,16	29,16	237,16	29,16	2,56	903,2
8	6,76	6,76	6,76	54,76	0,16	75,2
						=3132,8

Затем для всех восьми опытов определяют сумму квадратов ошибок (сумму построчных дисперсий):

Дисперсию, характеризующую ошибку эксперимента, находят по формуле:

где N – количество опытов;

n - количество повторений.

Для оценки воспроизводимости вычисляем экспериментальное значение числа Кохрена и сравниваем с табличным:

,

где =0,391;

- условие выполняется.

Так как условие выполняется, то можно говорить об однородности дисперсии опытов, то есть все ошибки примерно одного порядка допустимой величины.

Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии

Оценку значимости проводят с помощью критерия Стьюдента t. Для каждого коэффициента b_i определяют экспериментальное отношение:

Где – абсолютное значение исследуемого коэффициента регрессии;

- дисперсия, характеризующая ошибку определения коэффициентов (среднеквадратичное отклонение).

Полученные значения t_э сведем в таблицу .

Таблица - значения t_э

№	tэ
1	151,7467
2	4,218738
3	2,109369
4	2,716612
5	1,534087
6	0,735083
7	6,423988
8	31,41682

Полученные значения t_э сравниваем с t_табл = 2,037.

Коэффициенты уравнения регрессии b_i, для которых выполняется условие t_э<t_табл, являются незначимыми, и в уравнении регрессии приравниваются к нулю (исключаются из уравнения регрессии).

Незначимыми коэффициентами являются b_1,2 и b_1,3, тогда уравнение регрессии примет вид:

y=b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b_2,3x₂x₃ + b_1,2,3x₁x₂x₃,

Проверка адекватности уравнения регрессии опытным данным

Проверку выполняют в том случае, когда в уравнении регрессии присутствуют незначимые коэффициенты b_i.

Результаты проверки позволяют сделать вывод о пригодности полученного уравнения регрессии для описания конструкции запашного якоря.

Проверка на адекватность позволяет подтвердить гипотезу об однородности дисперсии адекватности и дисперсии, характеризующей ошибку эксперименты,

Дисперсия адекватности определяют по формуле:

где – держащая сила якоря в каждом из восьми опытов, подсчитанная по уравнению регрессии;

L – число незначимых коэффициентов уравнения регрессии.

Например, для третьего опыта:

Результаты сведем в таблицу .

Таблица - значения

№
1	274,4
2	182,2
3	198
4	312
5	185,4
6	294,4
7	265,4
8	187,4

Для оценки адекватности находят экспериментальное значение числа Фишера:

где , условие выполняется, полученное уравнение регрессии адекватно описывает экспериментальные данные.

Перевод уравнения регрессии из условного масштаба в натуральный

Для удобства применения полученного уравнения регрессии на практике требуется перевести его из условного масштаба измерения в натуральный. Для этого факторы в натуральном масштабе обозначают Х, их пределы варьирования от X_min до X_max.

Переход от условного масштаба к натуральному осуществляем по формуле:

где

α = 30 … 60;

l = 0,22 … 0,185;

h = 0,1 … 0,06.

Получим 3 фактора:

Х₁ = (0,13α -3);

Х₂ = (57,14l-11,57);

Х₃ = (50h-4).

Уравнение регрессии примет вид:

y=237,4 + 6,6(0,13α -3) + 3,3(57,14l-11,57) + (-4,25) (50h-4) + (-10,05) (57,14l-11,57) (50h-4) + (-49,15) (0,13α -3) (57,14l-11,57) (50h-4).

Раскроем скобки:

y = -5632,336 – 294,828 α – 31215,582l – 79698,4h + 392552,65lh -18254,31αlh+ + 3696,08αh.