Введение

Цель курсовой работы - проектирование цифрового рекурсивного фильтра Баттерворта нижних частот третьего порядка по аналоговому прототипу.

Цифровой фильтр - цифровое устройство, которое реализует алгоритм дискретного фильтра, при этом входной и выходной сигналы являются цифровыми.

Основными параметрами фильтров нижних частот (ФНЧ) являются: - частота среза, - частота дискретизации, - коэффициент передачи фильтра в полосе пропускания, - наклон АЧХ в полосе ограничения, - неравномерность АЧХ в полосе пропускания.

Проектирование цифровых фильтров может осуществляться как методами математического, так и методами эвристического синтеза. Для проектирования рекурсивных цифровых фильтров используют эвристический синтез. Чаще всего синтез проводится по аналоговым нормированным фильтрам низких частот-прототипам.

1. Расчет аналогового фильтра прототипа

В результате выполнения синтеза аналогового нормированного фильтра - прототипа получают передаточную функцию H(s).

Фильтр Баттерворта проектируется так, чтобы его АЧХ была максимально гладкой на частотах полосы пропускания. АЧХ фильтра Баттерворта гладкая на частотах полосы пропускания и снижается практически до 0 на частотах полосы подавления.

Фильтр Баттерворта - единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления), тогда как многие другие разновидности фильтров (Бесселя, Чебышева, эллиптический) имеют различные формы АЧХ при различных порядках.

Проектирование ЦФ может осуществляться как методами математического, так и методами эвристического синтеза. Математический синтез успешно используется для проектирования нерекурсивных ЦФ при линейном представлении аппроксимирующей функции. При этом аппроксимационная задача является линейной.

Для линейных задач разработаны эффективные процедуры решения (по крайней мере, чис ленные).

Для рекурсивных ЦФ аппроксимационная задача является нелинейной, поэтому в каждом конкретном случае требуется разработка своего алгоритма решения. По этой причине при проектировании рекурсивных ЦФ используют эвристический синтез. Чаще всего синтез проводится по аналоговым нормированным ФНЧ-прототипам.

Получим аналитическое выражение передаточной функции ФНЧ - прототипа Баттерворта 3-го порядка. Для этого удобно записать передаточную функцию в виде произведения передаточных функций элементарных блоков первого и второго порядков с вещественными коэффициентами:

, (1.1)

где

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

- порядок фильтра .

Из формулы (1.3) находим r =1.

Найдём полюсы передаточной функции по формуле:

(1.7)

Подставим найденные значения в формулы (1.4) и (1.5)

Из формулы (1.6) найдем нормирующий множитель :

.

Подставляя найденные значения в формулу (1.1) получим передаточную функцию аналогового фильтра-прототипа:

(1.8)