Логические операции
Включение. Пусть A и B — нечеткие множества на универсальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если
(1)
Обозначение:
Например,
если A
—
множество чисел, очень близких к 10, а B
— множество
чисел, близких к 10, то
Формально это можно проверить, используя
функции принадлежности. Если A
и
B
—
обычные множества, а
и
— характеристические
функции, то из неравенства (1) следует,
что если некоторый элемент x
принадлежит
множеству A,
т.
е.
,
то он принадлежит и множеству B,
поскольку
.
Иногда используют термин доминирование, т. е. в случае, когда говорят, что B доминирует A.
Множества
A
и B
равны,
если
.
Обозначение: A
= B.
Объединение.
Объединением нечетких множеств A
и B
называется
нечеткое множество, обозначаемое
функция принадлежности которого
определяется следующим образом:
Иначе
говоря, объединением
называется
наименьшее нечеткое подмножество,
включающее как A,
так
и B.
|
Рис. 5. - Операции с нечеткими множествами: а) подмножество и дополнение нечеткого множества; б) разность нечетких множеств; в) объединение нечетких множеств; г) пересечение нечетких множеств
Пересечение.
Пересечением
называется наибольшее нечеткое
подмножество, содержащееся одновременно
в множествах A
и B:
(2)
Дополнение.
Дополнение
нечеткого
множества A
имеет
функцию
принадлежности
Обозначение:
или
Это
определение можно сформулировать иначе.
Пусть
A
и
B
— нечеткие
множества, заданные на E.
Множество
A
и
B
дополняют
друг
друга, если
Очевидно,
что
.
Разность.
Разностью
называют множество с функцией
принадлежности
На рис. 5 проиллюстрированы данные выше определения. Операции над нечеткими множествами можно проиллюстрировать и так, как показано на рис. 6.
Введенные операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок И, ИЛИ, НЕ.
Рис. 6. Графическая интерпретация логических операций: а) нечеткое множество А; б) нечеткое множество А; в) А л А; г) А у А
Для
операций пересечения и объединения
выполняются следующие
свойства
(A,
B,
C
-
нечеткие множества; - Ø – пустое
множество, т.е.
E
- универсальное
множество):
1)
(коммутативность);
2)
(ассоциативность);
3)
(идемпотентность);
4)
(дистрибутивность)
5)
6)
7)
8)
9)
(теоремы де Моргана).
В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае имеем:
,
Алгебраические операции
Алгебраическое
произведение нечетких множеств A
и
B
обозначается
к определяется
так:
Алгебраическая
сумма этих множеств обозначается
и
определяется
так:
Для
операций ∙,
выполняются следующие свойства:
1)
(коммутативность);
2)
(ассоциативность);
3)
4)
,
(теоремы де Моргана).
В отличие от четких множеств, для нечетких множеств следующие свойства, вообще говоря, не выполняются:
1)
(идемпотентность);
2)
(дистрибутивность);
3)
.
При
совместном использовании операций
выполняются следующие
свойства:
1)
2)
3)
4)
Умножение на число. Если α — положительное число такое, что
,
то нечеткое множество
имеет функцию принадлежности
Дизъюнктивная сумма:
с функцией принадлежности
Выпуклая
комбинация нечетких множеств. Пусть
нечеткие помножества универсального
множества E,
а
неотрицательные числа, сумма которых
равна 1. Тогда выпуклой
комбинацией
называется
нечеткое множество A
с
функцией
принадлежности
Декартово
(прямое) произведение нечетких множеств.
Пусть
— нечеткие подмножества универсальных
множеств
соответственно. Декартовым или прямым
произведением
называется нечеткое подмножество
множества
с функцией принадлежности
Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.
Пусть
A
—
нечеткое множество, E
—
универсальное множество, и для всех
элементов
определены нечеткие множества
.
Совокупность
всех
множеств
называется
ядром оператора увеличения нечеткости
Ф.
Результатом действия оператора Ф на
нечеткое множество A
является
нечеткое
множество вида
где
— произведение числа на нечеткое
множество.
Пример
7. Пусть
Тогда
