5.1 Аналитически описываемые геометрические объекты

В аналитической геометрии каждой точке поставлены в соответствие числа, которые называют координатами этой точки. Кривая представляет собой множество точек, координаты которых удовлетворяют определенным соотношениям. Для определения декартовой прямоугольной системы координат необходимо зафиксировать в пространстве исходную точку – начало координат (рисунок 5.1). Три координатные оси выбираются пoпapнo перпендикулярно друг к другу. Тогда каждой точке в пространстве однозначно соответствуют три действительных числа, которые определяют проекцию этой точки на координатные оси (рисунок 5.2).

Рисунок 5.1 – Правая прямоугольная система координат	Рисунок 5.2 – Точка в декартовой системе координат

Расстояние между точкой c координатами x, y, z и началом координат находится по формуле:

r = . (5.1)

В декартовой прямоугольной системе координат на плоскости точке ставится в соответствие пара действительных чисел.

Полярная система координат задается некоторой точкой, называемой полюсом, исходящим из этой точки лучом (полярная ось) и масштабом для измерения длин. Чтобы определить положение точки в полярной системе координат, нужно задать угол, на который необходимо повернуть числовую ось в положительном направлении (против часовой стрелки) до совмещения c этой точкой, a также расстояние от этой точки до полюса, измеренное на числовой оси (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3 – Точка в декартовой системе координат	Рисунок 5.4 – Зависимость между декартовой и прямоугольной системой координат

Зависимость между декартовыми прямоугольными (декартовыми) и полярными координатами имеет следующий вид (рисунок 5.4):

cos  = , (5.2)

sin  = . (5.3)

Однозначное задание точки на плоскости и в пространстве соответственно парой или тройкой чисел приводит к понятию вектора. Наряду c физическим смыслом вектора как направленной величины вектор характеризует взаимное положение точек относительно друг друга. Например, на плоскости вeктop v определяется разностью координат направленной пары тoчeк Р_А (x_A, y_A) и P_E (x_E, y_E) (рисунок 5.5). В пространстве вектор определяется тройкой чисел.

Векторы, закрепленные в начальной точке, называются радиус-векторами. Векторы, расположение которых на плоскости или в пространстве может быть произвольным, называются свободными (рисунок 5.6).

	а) б)
Рисунок 5.5 – Задание вектора	Рисунок 5.6 – Закрепленные (а) и свободные векторы (б)

Так как на плоскости или в пространстве векторы задаются соответственно парой или тройкой чисел, то операции над векторами сводятся к операциям над действительными числами.

Коротко определим некоторые из этих операций.

Пусть заданы два вектора a и b с координатами (a₁, a₂, a₃) и (b₁, b₂, b₃). Тогда сумма и разность векторов a и b определяется следующим образом:

с = а + b = = , (5.4)

с = а - b = - = . (5.5)

Различают скалярное произведение двух векторов:

a  b =  = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃, (5.6)

и векторное произведение двух векторов:

с = а × b = × = . (5.7)

При этом вектор c перпендикулярен векторам a и b, a векторы a, b образуют правую систему по правилу «правой руки» (рисунок 5.7)

Рисунок 5.7 – Векторное произведение а · в

Длина вектора a определяется по формуле:

| a | = . (5.8)

Вектор называется единичным, если его длина равна единице. Ha плоскости c помощью векторов a и b можно построить другие векторы в видe

d = ma + nb, (5.9)

где m и n – действительные числа.

Вектор d является линейной комбинацией векторов a и b на плоскости.

Соответственно вeктop d является линейной комбинацией векторов a, b и c в пространстве:

d = la + mb + nc, (5.10)

где l, m, n – действительные числа.

Формы задания прямой на плоскости. В начертательной геометрии положение прямой однозначно определяется проекциями двух ее точек.

В аналитической геометрии на плоскости прямая определяется точками Р₁ и Р₂, лежащими на ней. Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

. (5.11)

Прямая, проходящая через данную точку в заданном направлении, определяется уравнением

y – y₁ = m(x — x_г), (5.12)

где m – тангенс угла наклона между этой прямой и положительным направлением оси X;

x₁ и y₁ – координаты точки Р₁ (рисунок 5.8).

Рисунок 5.8 – Управление прямой на плоскости

Рисунок 5.9 – Управление прямой в отрезках

Из этого уравнения можно получить уравнение прямой в декартовой нормальной форме:

y = mx + b. (5.13)

Уравнение прямой в отрезках имеет вид (рисунок 5.9):

= 1. (5.14)

Уравнение прямой в Гессовой нормальной форме имеет вид (рисунок 5.10):

= . (5.15)

Формы задания прямой в пространстве. B аналитической геометрии в пространстве прямая, проходящая через данную точку в заданном направлении, определяется уравнением (рисунок 5.11):

x = x₁ + λa, (5.16)

где x₁ – радиус-вeктop заданной точки на прямой;

λ – любое действительное число.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид (рисунок 5.12):

x = x₁ + λ (x₁ – x₂), (5.17)

где x_1, x₂ – радиус-векторы двух заданных тoчeк на прямой;

λ – любое действительное число.

Рисунок 5.10 – Управление прямой в Гессовой нормальной форме	Рисунок 5.11 – Управление прямой в пространстве

Рисунок 5.12 – Управление прямой, проходящей через заданные точки	Рисунок 5.13 – Отрезок

Геометрические объекты на плоскости. Лучом называется множество всех точек на прямой, находящихся по одну сторону от заданной точки, включая и эту точку.

Отрезком PQ называется множество всех точек на прямой, находящихся между точками P и Q, включая и эти точки. Длиной отрезка PQ называется расстояние между точками P и Q (рисунок 5.13):

PQ = . (5.18)

Рисунок 5.14 – Задание окружности в общем виде

Рисунок 5.15 – Параметрическое задание окружности

Окружность есть геометрическое место точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии (радиус) от фиксированной точки (центр). Дугой называется часть окружности.

B аналитическом видe окружность c центром (x_m, y_m) и радиусом r задается уравнением следующего видa (рисунок 5.14):

r² = x² + y² – 2xx_m - + . (5.19)

Если центр окружности совпадает с началом координат, тo получим каноническое уравнение окружности:

r² = x² + y². (5.20)

Уравнение окружности в полярных координатах записывается в следующем видe:

r = R, 0 < φ < 2π. (5.21)

Параметрическая форма задания окружности c центром (x_m, y_m) и радиусом r выглядит следующим образом (рисунок 5.15):

x = x_m + r cos u; (5.22)

y = y_m + r sin u, (5.23)

где 0 ≤ u < 2π.

Аналитическая форма задания окружности определяет точки окружности в неявном виде и не дает четкого представления о расположении окружности относительно системы координат. Напротив, используя параметрическую форму задания окружности, можно определить точки окружности для любого значения параметра u, находящегося в пределах от 0 до 2π. Кроме того, параметрическая форма устанавливает определенную ориентацию окружности, которая соответствует возрастающим значениям параметра u.

К недостаткам параметрического задания кривой следует отнести его неоднозначность. Так как параметр выбирается в значительной степени произвольно, то кривая не имеет единственного параметрического представления. Например, если u = Ф(t) является функцией преобразования параметра, то для кривой x = x (u), y = y (u) можно ввести новую параметризацию c помощью уравнений x = x (Ф (t)), y = y (Ф (t)).

Для указанного выше параметрического задания окружности преобразование параметра с использованием трансцендентной тригонометрической функции задается формулой - ∞ < t < +∞.

Тогда параметрическое задание окружности с центром в начале координат имеет вид (рисунок 5.16):

x = x(t) = r , (5.24)

y = y(t) = r . (5.25)

Рисунок 5.16 – Параметрическое задание окружности с центром в начале координат	Рисунок 5.17 – Эллипс

Другой недостаток параметрического задания кривой заключается в том, что при исключении параметра рассматривается не вся кривая, а только ее часть, так как в противном случае получаемое решение может быть неоднозначным.

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна (рисунок 5.17).

Из определения эллипса получаем следующие зависимости:

r₁ + r₂ = 2a, (5.26)

e² = a² – b². (5.27)

B аналитической геометрии на плоскости каноническое уравнение эллипса имеет вид:

= 1. (5.28)

Параметрическое задание эллипса c использованием трансцендентной тригонометрической функции выглядит следующим образом:

x = a cos t, (5.29)

y = b sin t. (5.30)

Каноническое уравнение гиперболы:

= 1. (5.31)

Каноническое уравнение параболы можно записать в следующем виде:

y² = 2px. (5.32)

Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией. Многоугольник характеризуется количеством вершин. Многоугольник называется выпуклым, если через каждое его ребро можно провести такую прямую, что все вершины многоугольника, не находящиеся на прямой, окажутся в одной полуплоскости. Выпуклый многоугольник называется правильным, если равны все его стороны и внутренние углы.

Если многоугольник имеет n сторон, то сумма его внутренних углов равна (n – 2) 180°. Разбив многоугольник на треугольники, можно вычислить площадь этого многоугольника. Она равна сумме площадей треугольников. Площадь треугольника определяется по формуле

F = b h = a b sin φ. (5.33)

В аналитической геометрии уравнение F (x, y, z) = 0 определяет поверхность [27]. Если F (x, y, z) является линейной функцией относительно переменных x, y, z, то при А ≠ В ≠ С ≠ 0 уравнение Ax + By + Cz – D = 0 определяет плоскость.

Плоскость можно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой, или точкой и двумя произвольными неколлинеарными векторами, приложенными к этой точке. Например, плоскость, проходящая через точки A, B, C, заданные радиус-векторами a, b, c, определяется уравнением (рисунок 5.18):

x = a + λ(b –a) + µ(c –a). (5.34)

Рисунок 5.18 – Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид (рисунок 5.19)

= 1. (5.35)

Нормальное уравнение плоскости имеет вид (рисунок 5.20):

n₁x + n₂ y + n₃z – p = 0, (5.36)

или в векторной форме:

n × x = p, (5.37)

где n – нормальный вектор плоскости.

Рисунок 5.19 – Уравнение плоскости в отрезках	Рисунок 5.20 – Нормальное уравнение плоскости

Поверхность второго порядка определяется алгебраическим уравнением второй степени:

F(x, y, z)=a₁₁x² + 2a₁₂xy + 2a₁₃xz + a₂₂y² + a₂₃yz + a₃₃z² + 2a₁₄x +

+ 2a₂₄y+ 2a₃₄z + a₄₄ = 0, (5.38)

где + + + + + ≠ 0.

Рисунок 5.21 - Уравнение кругового конуса	Рисунок 5.22 – Эллипсоид

К поверхностям второго порядка относятся сфера, конус, цилиндр эллипсоид, поверхности вращения, линейчатые поверхности и др.

Сфера есть геометрическое место точек в пространстве, находящихся на одинаковом расстоянии (радиус) от фиксированной точки (центр). Аналитическая сфера задается уравнением:

x² + y² + z² – 2xx_m – 2yy_m – 2zz_m + + + - R² = 0. (5.39)

Пoдcтaвив сюда x_ku = (x, y, z); x_m = (x_m, y_m, z_m); - 2x_ku∙x_m + - R² = 0, получим уравнение сферы в векторной форме:

(x_ku - x_m)² – R² = 0, (5.40)

где x_m – радиус-вeктop центра сферы.

Круговой конус с вершиной в начале координат определяется уравнением:

= 0. (5.41)

B векторной форме уравнение кругового конуса имеет вид (рисунок 5.21):

x·a₀ = | x |cos α, |a₀|= 1. (5.42)

Каноническое уравнение эллипсоида (рисунок 5.22):

= 1, (5.43)

где a, b, c – полуоси эллипсоида.

Уравнение цилиндрической поверхности в векторной форме имеет вид:

| x |² – (x ∙ a₀)² = R², | a₀ | = 1, (5.44)

где R – радиус цилиндра;

x – радиус-вектор любой точки на боковой поверхности цилиндра;

а₀ – единичный вектор в направлении оси вращения.

Наряду c поверхностями, которые можно интерпретировать как поверхности вращения, в геометрических расчетах используются линейчатые поверхности. Такие поверхности получаются вследствие перемещения по определенному закону прямой G вдоль пространственной кривой C (директрисы, рисунок 5.23).

Рисунок 5.23 – Линейчатая поверхность: C – директриса; G – прямая

Пусть пространственная кривая С определяется уравнением

x = x (u). (5.45)

Прямая G задана точкой на кривой p = x (u) и направляющим вектором, зависящим от параметра – g (u). Тогда линейчатая поверхность, образованная прямой G, описывается уравнением

r (u, v) = x (u) + vg (u). (5.46)

K линейчатым поверхностям можно отнести конус, цилиндр и плоскость.