17. Тәуелсіз сынақтар тізбегі

18. Бернулли схемасы. Бернулли формуласы.

19. Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны.

Оқиғаның әр тәуелсіз тәжірибеде пайда болу ықтималдығы Р болса, онда n тәжірибеде осы оқиғаның пайда болу саны k₀ ең ықтимал сан деп аталады, егер k₀ саны осы тәжірибелерден пайда болуы мүмкін басқа нәтижелердің ықтималдықтарынан асып кетсе немесе кем болмаса. Енді осы ең ықтималды сан k₀-ді анықтаудың жалпы формуласын табайық. Ол үшін ең үлкен ықтималдықты Р_n (k₀) деп ұйғарайық та, оның алдындағы Р_n (k₀-1) мен одан кейінгі

Р_n (k₀+1) ықтималдығын алайық. Сонымен

болады. Бұлардың әр қайсысын жеке жеке қарастырайық. Сонда

болып келеді. Бұдан К₀≤np+p екені шығады. Екінші теңсіздіктен

.

Бұдан ≥ np-q Бұл екі теңсіздікті біріктіргенде, np-q≤ ≤np+p болады. Бұл теңсіздіктің оң жақ бөлігін түрлендірейік:

np+p=np+(1-q)=(np-q)+1.

Сонымен, алдыңғы теңсіздіктің оң жақ бөлігі сол жақ бөлігінен бір бүтін бірлікке артық. np-q мен np+p сандары бөлшек болса, онда айырымы бірге тең екі бөлшек сан шығады, бірақ m мәні бүтін сан болғандықтан, ең ықтималды сан біреу ғана болады.

Сонымен, ең ықтимал сан қос теңсіздіктен анықталады

np-q≤ ≤n+p (1) және егер:

а) np-q бөлшек сан болса, онда бір ең ықтимал сан болады;

б) np-q бүтін сан болса, онда екі ең ықтимал сан және +1 болады;

в) np бүтін сан болса, онда ең ықтимал сан =np болады.

Мысал: Тәуелсіз 6 сынау жүргізілсін дейік. Оның әрқайсысында А оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,2-ге тең. А оқиғасының пайда болуының ең жоғары ықтималдықты санын табу керек. Шешуі: Есептің шарты бойынша n=6; p=0,2; q=0,8. Ең ықтимал сан -ді табу үшін (1) қос теңсіздігін пайдаланамыз. Осыған есептің берілгенін қойсақ, 6∙0,2-0,8≤ ≤6∙0,2+0,2 немесе 0,4≤ ≤1,4 болады. Мұндағы np+p=1,4, ал np-q=0,4 бөлшек сандары болғандықтан =1.

20. Пуассонның жуықтау формуласы.

21. Муавр-Лапластың жергіліктік және интегралдық теоремалары. Қолданылу мысалдары

22. Кездейсоқ шама: анықтамасы, үлестірім заңы, үлестірім функциясы және оның қасиеттері.

24. Үзіліссіз кездейсоқ шамалар: үлестірім тығыздығы, үлестірім функциясы. Қасиеттері.

25. Екі өлшемді кездейсоқ шамалар. Олардың үлестірімі.

27. Шартты үлестірім. Қасиеттері

Егер бір аргументтің мәнін бекітіп, деп алсақ, онда шарты кезіндегі Х - Х кездейсоқ шамасының шартты үлестірімі деп аталады. Осы үлестірімнің ықтималдықтары Х=х_i оқиғасының шартты ықтималдықтары болады, егер Y=y_j орындалды деп болжасақ. Шартты ықтималдықтың анықтамасы бойынша

Тура осылай Х=х_i шарты кезіндегі У кездейсоқ шамасының шартты үлестірімі шартты ықтималдықтар көмегімен беріледі:

28. Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалар. Тәуелсіз болу критерийлері

29. Екі өлшемді нормаль (гаустік) үлестірім.

31. Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың қосындысының үлестірімі. Үйірткі (свертка) формуласы.

32. Нормаль үлестірілген өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының үлестірімін қорыту

Нормальді үлестірімдердің композициясы нормальді үлестірілген болады. Осылай егер Х пен У – тәуелсіз нормальді үлестірілген кездейсоқ шамалар болса, яғни, болса онда кездейсоқ шамасы да нормаль үлестірілген болады Х пен У тәуелді болса, (корреляция коэффициенті ρ≠0), онда Z=X+Y нормальді үлестірілген болып қалады, параметрлері

болады.

33. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі. Қасиеттері

АНЫҚТАМА. Дискреттік кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп оның барлық мүмкін мәндерін сәйкес ықтималдықтарына көбейтіп қосқандағы қосындыны айтамыз.

Х кездейсоқ шамасының мүмкін мәндері болсында олардың сәйкес ықтималдықтары болсын. Сонда математикалық үміт мына теңдіктен анықталады:

М(Х)= (1)

Егер кездейсоқ шама Х-тің қабылдайтын мәндері ,... ал оларға сәйкес ықтималдықтары ,... болса және қатары абсолютті жинақты болса, онда осы қатардың қосындысын кездейсоқ шаманың математикалық үміті дейді.

М(Х)= .

Енді математикалық үміттің қасиеттерін көрсетейік.

1. қасиет. Тұрақты шаманың математикалық үміті сол тұрақтының өзіне тең:

М(С)=С, С=const.

Дәлелдеу. Х-тің барлық мәндері тұрақты С-ның өзіне тең, яғни болатын кездейсоқ шама деп қарастыруымызға болады. Сонда

М(С)= .

2- қасиет. Тұрақты көбейткішті математикалық үміт белгісінің сыртына шығаруға болады:

М(СХ)=СМ(Х), С=const.

Дәлелдеу. СХ-ті кездейсоқ шама деп қарастырамыз, сонда

М(СХ)= .

3- қасиет. Кездейсоқ екі шаманың қосындысының математикалық үміті әр кездейсоқ шамалардың математикалық үміттерінің қосындысына тең:

М(Х+У)=М(Х)+М(У).

1-салдар. Кездейсоқ шамалардың қосындыларының математикалық үміті олардың математикалық үміттерінің қосындысына тең, яғни

М .

Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу қиын емес. Бұл қасиет кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса да, тәуелді болса да орындалады.

2-салдар. Кездейсоқ екі шаманың математикалық үміті олардың математикалық үміттерінің айырмасына тең:

М(Х-У)=М(Х)-М(У).

Дәлелдеу. (-У)-ті (-1)У деп жазып, 2 және 3 - қасиеттерді пайдаланып дәлелденеді.

3-салдар. Кездейсоқ шама мен тұрақты шама қосындысының (айырымының) математикалық үміті сол кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен сол тұрақтының қосындысына (айырымына) тең, яғни

М .

4- қасиет. Тәуелсіз екі кездейсоқ шама көбейтіндісінің математикалық үміті олардың математикалық үміттерінің көбейтіндісіне тең, яғни

M .

1-салдар. кездейсоқ шамаларды қос- қостан тәуелсіз болса, онда

М .

Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу қиынға соқпайды.

Мысал. Үлестіру заңы белгілі (Х) кездейсоқ шаманың математикалық үмітін табайық:

х	2	4	5	6
р	0,3	0,1	0,2	0,4

Шешуі.

Мысал. Х және У екі тәуелсіз кездейсоқ шама үлестіру заңдарымен берілген. М(Х), М(У) кездейсоқ шамаларының математикалық үмітін табайық:

Шешуі. М(Х)=- ,

М(У)= .

Теорема-1. Егер А оқиғасының бір тәжірибедегі ықтималдығы р- ға тең болса, бір тәжірибедегі А оқиғасының пайда болу санының математикалық үміті де р-ға тең болады, яғни М(Х)=р.

х	1	0
р	р	1-р

Дәлелдеу. Шынында да, А оқиғасының бір тәжірибедегі пайда болу санын кездейсоқ шама ретінде қарастырсақ, оның үлестіру заңы мынадай болады: М(Х)= Теорема-2. n тәуелсіз тәжірибедегі А оқиғасының пайда болуы сандарының математикалық үміті тәуелсіз тәжірибелер саны мен оқиғаның әрбір тәжірибедегі пайда болуының ықтималдығы р-ның көбейтіндісіне тең: М(Х)=nр.