Параболическая регрессия.

Рассмотрим построение уравнения регрессии вида .

Составление системы нормальных уравнений для нахождения коэффициентов параболической регрессии осуществляется аналогично составлению нормальных уравнений линейной регрессии.

После преобразований получаем:

Решая систему нормальных уравнений, получают коэффициенты уравнения регрессии.

Далее рассчитывают дисперсию

,

где ,

Уравнение второй степени значимо лучше описывает экспериментальные данные, чем уравнение первой степени, если уменьшение дисперсии по сравнению с дисперсией линейной регрессии является значимым (неслучайным). Значимость различия между и оценивается критерием Фишера:

,

где число берется по справочным статистическим таблицам соответственно степеням свободы и выбранного уровня значимости

Порядок выполнения расчетной работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом, изложенным в методических указаниях либо в дополнительной литературе.

2. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии . Для этого необходимо вычислить суммы . Коэффициенты и определяют по приведенным выше формулам. Удобно сразу вычислить суммы , которые пригодятся для расчета коэффициентов параболического уравнения.

3. При выполнении расчетов данные удобно сводить в таблицу. Расчеты рекомендуется проводить в программном пакете Excel либо на калькуляторе.

4. Вычислить расчетные значения выходного параметра по уравнению .

5. Вычислить общую и остаточную дисперсии , , а также критерий Фишера .

6. Рассчитать коэффициенты параболического уравнения регрессии . Учитывая сложность решения системы нормальных уравнений, рекомендуется записать систему нормальных уравнений в матричной форме:

Далее решить эту систему линейных уравнений в среде MathCad. Для этого предварительно вычислить матрицу коэффициентов и матрицу правых частей системы уравнений .

Далее воспользоваться стандартной функцией для решения системы линейных уравнений .

7. Вычислить расчетные значения выходного параметра по уравнению

8. Вычислить остаточную дисперсию , а также критерий Фишера

9. Сделать выводы.

10. Построить графики уравнений регрессии и исходных данных.

11. Оформить расчетную работу.

Пример расчета.

По экспериментальным данным зависимости плотности водяного пара от температуры получить уравнения регрессии вида и . Провести статистический анализ и сделать вывод о лучшей эмпирической зависимости.

	40	46	52	64	76	88	100	112
	0,0512	0,0687	0,081	0,1546	0,2516	0,3943	0,5977	0,8795

Обработка экспериментальных данных проводилась в соответствии с рекомендациями к работе. Расчеты для определения параметров линейного уравнения приведены в таблице 1.

Нахождение параметров линейной зависимости вида r(t)=b0+b1t
Плотность водяного пара на линии насыщения r(t)=b0+b1t
№	ti, °C	ri, ом	ti2	tiri	r(ti) расч.	∆ri= r(ti) расч.- ri	(∆ri)2	(ri-rср)2
1	40	0,0512	1600	2,05	-0,0403	-0,09150	0,0084	0,0669
2	46	0,0687	2116	3,16	0,0248	-0,04388	0,0019	0,0582
3	52	0,0811	2704	4,22	0,0899	0,00888	0,0001	0,0523
4	64	0,1546	4096	9,89	0,2202	0,06565	0,0043	0,0241
5	76	0,2516	5776	19,12	0,3505	0,09894	0,0098	0,0034
6	88	0,3943	7744	34,70	0,4808	0,08654	0,0075	0,0071
7	100	0,5977	10000	59,77	0,6111	0,01344	0,0002	0,0829
8	112	0,8795	12544	98,50	0,7414	-0,13807	0,0191	0,3245
сумма	578	2,4786	46580	231,41			0,0512	0,6194
среднее	72,25	0,3098	5822,5	28,93
b0=	-0,4747					D1ост2=	0,0085
b1=	0,0109					Dy2=	0,0885
						F=	10,3682
r=-0,4747+0,0109*t FT=3,87 F>FT модель адекватна

Обозначения в таблице:

Для определения параметров параболической регрессии r(t)=a₀+a₁t+a₂t² вначале были определены элементы матрицы коэффициентов и матрицы правых частей системы нормальных уравнений. Затем расчет коэффициентов выполнен в среде MathCad:

Данные расчетов приведены в таблице 2.

Обозначения в таблице:

;

;