2. Найти угол между двумя прямыми:

1. На плоскости.

Решение. Приведём уравнения данных прямых к виду (6).

Теперь можно воспользоваться формулой (7).

Пример. Найти угол между прямыми:

3х – 2у + 6 = 0 и .

Решение. Запишем данные прямые в виде (6):

у = х + 3 и у = -2х.

Откуда к₁ = , к₂ = -2.

Подставляя эти значения в формулу (7) имеем:

Следовательно, угол между данными прямыми равен: φ=аrctg(1.75).

2. В пространстве.

Решение. Приведем уравнения данных прямых к каноническому виду (19). В силу этого нам стали известны координаты направляющих векторов этих прямых. Следовательно, задача свелась к нахождению угла между двумя векторами с известными координатами. Например, на рисунке 31 угол между прямыми ℓ₁ и ℓ₂

	есть угол между векторами и (в данном случае эти век-тора приведены к общему началу с помощью параллельного переноса). Воспользовавшись скалярным произведением,
рис.31

имеем:

cos φ = ,

где координаты направляющих векторов прямых ℓ₁ и ℓ₂, соответственно.

Пример. Найти угол между прямыми:

и .

Решение. Запишем уравнение первой прямой, заданной в виде пересечения двух плоскостей, в каноническом виде (19). Для этого нам нужна точка, лежащая этой прямой, и направляющий вектор этой прямой. Нами показано (см. выше), что она проходит через точку с координатами (1, , 0). Чтобы определить координаты направляющего вектора данной прямой, примем к сведению, что нам известны координаты векторов нормали двух образующих эту прямую плоскостей (рис. 32). Так как каждый из этих векторов перпендикулярен соответствующей плоскости, то каждый из них перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе к прямой – линии пересечения (рис. 33).

рис. 32	рис. 33

Итак, каждый из векторов нормали перпендикулярен линии пересечения плоскостей. Но тогда в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор, равный векторному произведению (3, -5, 2) и (1, 5, -2):

= .

Таким образом, каноническая форма имеет вид:

,

а угол между исходными прямыми будет равен:

cos φ = , или

cos φ = => φ = arccos .

Для определения угла между двумя прямыми достаточно знать координаты их направляющих векторов.

3. Найти угол между двумя плоскостями.

Решение. Независимо от того, уравнение плоскости задано в общем виде Ах + Ву + Сz + D = 0 или в нормальной форме х·cos α + y·cos β + z·cos γ – p = 0, коэффициенты при х, у, z равны координатам вектора нормали данной плоскости. Так как угол между плоскостями равен углу между их векторами нормали (можно воспользоваться данными рисунков 32 и 33), то опять используем формулу скалярного произведения двух векторов.

Пример. Найти угол между плоскостями 3х - 2у + 6z - 1= 0 и 2х + у - z + 5 = 0.

Решение. cos φ = , или

cos φ = => φ = arccos .

4. Найти угол между прямой и плоскостью.

Решение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость. Чтобы построить проекцию на плоскость α, надо из какой-либо точки прямой опустить перпендикуляр на плоскость и провести прямую, проходящую через основание этого перпендикуляра и точку пересечения прямой и плоскости (рис. 34).

Пусть плоскость задана в общей или нормальной форме, а уравнение прямой записано в каноническом виде, то есть, известны координаты вектора нормали плоскости и координаты

рис. 34

направляющего вектора прямой. Если воспользоваться перпендикуляром АВ рисунка 34 и рассмотреть его как вектор нормали, то угол между вектором нормали и направляющим вектором прямой будет дополнять искомый угол между прямой и плоскостью до 90⁰ (т. е.  ОАВ + φ = 90⁰). Следует заметить, что данное рассуждение возможно, так как прямая, нормаль, проекция лежат в одной плоскости.

Таким образом, угол между вектором нормали и направляющим вектором прямой будет 90⁰ – φ. Определив по известной формуле косинус последнего угла, мы, используя формулу приведения, можем найти синус искомого угла, а следовательно, и сам угол φ.

Пример. Найти угол между прямой

и плоскостью 3х + 4у - 2z - 1= 0.

cos (90⁰ - φ) = = sin φ.

φ = arcsin .

Задания к РГР – “Пирамида”

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ :

Найти:

1. Длину ребра А₁А_2.

2. Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А_4.

3. Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А_3.

4. Площадь грани А₁А₂А_3.

5. Объем пирамиды А₁А₂А₃А_4.

6. Уравнение прямой А₁А_2.

7. Уравнение плоскости А₁А₂А_3.

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

9. Сделать чертеж.

В качестве примера разберем подробно аналогичное задание. Воспользуемся формулировкой задания к РГР.

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(5, 5, 4); А₂(3, 8, 4); А₃(3, 5, 10); А₄(5, 8, 2).

1. Длина ребра равна длине вектора. Составим вектор зная координаты А₁ и А₂, его координаты: (3–5, 8–5, 4-4) = (-2, 3, 0), тогда единиц длины.

2. Для того чтобы найти угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ воспользуемся формулой вычисления угла между векторами (стр.15). Координаты этих векторов - (-2, 3, 0) и (0, 3, -2). Подставим в формулу:

= = .

Таким образом, φ = arcocos .

3. Для нахождения угла между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃ потребуется дополнительное построение.

Проведем прямую А₁А₀ – проекцию вектора на плоскость грани А₁А₂А₃. Тогда углом между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃ будет угол между вектором и его проекцией на плоскость грани А₁А₂А₃. Для нахождения этого угла сделаем еще одно построение: проведем вектор перпендикулярный плоскости А₁А₂А₃ (рис.41).

Тогда, зная (-2, 3, 0), (-2, 0, 6), (0, 3, -2) найдем координаты вектора . Это возможно, так как он

рис.41

перпендикулярен векторам и , а значит вектором можно выбрать результат векторного произведения:

= .

Из скалярного произведения векторов и можно найти угол между этими векторами.

=

φ = arccos

Искомый угол равен 90⁰ – φ = 90⁰ - arccos .