33 Похідні вищих порядків

Нехай на   існує похідна  , яка, в свою чергу, є диференційованою на  .

Означення 1. Похідна від похідної першого порядку, тобто  , називається похідною другого порядку або другою похідною функції   і позначається  ,  ,  ,  .

Отже,     або   .

Якщо на   існує  , яка, в свою чергу, є диференційовною на  , то похідна третього порядку функції   на   це  .

Аналогічно, похідна четвертого порядку   і так далі. Похідна  -го порядку функції   на    

.

Означення 2. Функція, яка має похідну  -го порядку   на   ( -у похідну) називається   раз диференційовною на  . Якщо ж  -а похідна   є ще й неперервною на  , то функція   називається   раз неперервно диференційовною на  .

У загальному випадку для обчислення похідної вищого порядку потрібно знайти спочатку похідні всіх нижчих порядків. В окремих випадках вдається встановити загальний вираз для похідної  -го порядку.

Знайти похідну  -го порядку для наступних функцій.

1.  ;   ;   ;   ; …;

  або   .

Зокрема, якщо  , то  .

2.  ;   ;

;

;

  і т.д.

Отже,  .

3.  ;   ;

;

;

  і т.д.

Отже,  .

4.  ;   ;

;

;

  і т.д. Отже,  .

34 Диференціали вищих порядків

Нехай для функції   існує диференціал першого порядку:

.

Означення 1. Диференціалом другого порядку функції   називається диференціал від диференціала першого порядку   і позначається  , тобто  .

Аналогічно,   і т.д.

І взагалі, диференціалом  -го порядку називається диференціал від диференціала  -го порядку, тобто

.

За означенням

Отже, якщо   - незалежна змінна, то  . Аналогічно,  .

З останньої формули маємо, що при довільному   

,

тобто похідну  -го порядку функції   можна записати як відношення її диференціала  -го порядку до  -го степеня диференціалу аргумента.

Приклад. Знайти  , якщо  .

,

А тоді  .

Ми вже показали, що диференціал першого порядку інваріантний відносно форми, а диференціали вищих порядків такої властивості не мають.

Формула Лейбніца. Якщо функції  ,   мають похідні до n-го порядку включно, то для обчислення похідної n-го порядку від добутку цих функцій використовують формулу Лейбніца:

.        

Порушення інваріантності

Теорема 1. Диференціали вищих порядків   не зберігають форму.

Доведення. Розглянемо випадок  . Нехай функції   та   мають похідні до другого порядку включно. Тоді  , де   - диференціал, а не приріст ( ). Звідки

,

що й потрібно було довести.

 

35 Похідні вищих порядків від функцій, заданих параметрично. Якщо функції   і   параметрично задають функцію  , то похідні  ,  , можна послідовно обчислити за формулами:

 

,   і т. д.

 

Так, для похідної другого порядку має місце формула:

 

.                               (3.15)

 

Приклад 3.19. Знайти похідну   функції  , заданої параметрично:  ,  .

Розв’язання.

 

.

 

за формулою (3.15)

 

36 Формула Тейлора для многочленів та довільних функцій

Теорема (Тейлора, 1685-1731, Англія) Нехай функція   в околі точки   має похідні до  -го порядку включно. Якщо   з вказаного околу, то існує точка   з цього околу, для якої має місце формула

де       .

Ця формула називається формулою Тейлора,   - залишковий член.

Доведення. Позначимо

Многочлен   називається многочленом Тейлора функції   в околі точки  .

Тоді залишковий член  .

Отже, нам потрібно довести, що залишковий член   виражається вказаною формулою.

Нехай  . Для довільного   розглянемо функцію

   і    .

Отже,   задовольняє умові теореми Ролля на  . Знайдемо похідну функції  :

або              .

За теоремою Ролля існує   така, що  , тобто

 

або              .

Саме цю формулу залишкового члена найчастіше використовують. Залишковий член у вказаній формі називається залишковим членом у формі Лагранжа. Оскільки  , то залишковий член   можна записати у вигляді

.

Зустрічаються і інші форми залишкового члена формули Тейлора.

Якщо  , то залишковий член   буде нескінченно малою вищого порядку порівняно з  , тобто   при  . Такий запис залишкового члена   формули Тейлора називають зображенням залишкового члена у формі Пеано.

Наслідок. Для довільного   алгебраїчний многочлен степеня     може бути записаний у вигляді

При   формула Тейлора набуде вигляду

де   і називається формулою Маклорена з залишковим членом у формі Пеано, вона має вигляд

,  .

Формула Тейлора використовується при доведенні багатьох теорем у диференціальному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора показує поведінку функції в околі деякої точки.

Теорема:

• Нехай функція   має   похідну в деякому околі точки  , 

• Нехай 

• Нехай   — довільне додатнє число

тоді:   при   або   при  :

Це формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі.

 

37 . Формула Тейлора для основних елементарних функцій.