1. Определение геометрических параметров пантографа.

;

;

;

;

;

2. Кинематический анализ механизма.

Выберем в качестве обобщенной координаты вертикальное перемещение шарнира . Тогда:

(м/с);

(рад/с);

(м/с);

(м/с);

(рад/с);

(м/с);

(м/с);

3. Определение кинетической энергии системы.

Кинетическая энергия системы определяется для двух ферм пантографа. Диагональные элементы верхнего яруса учитываются как элемент АВ. В таком случае:

Здесь кинетическая энергия элемента АВ;

кинетическая энергия элемента ОВ;

кинетическая энергия токосъемника 3;

кинетическая энергия провода 4.

;

.

Тогда:

Здесь коэффициент инертности подвижных частей пантографа.

4. Определение обобщенной силы.

Обобщенная сила вычисляется как частное от деления мощности всех сил, действующих на систему, на обобщенную скорость.

; Мощность сил, действующих на систему, вычисляется для сил тяже-

сти элементов пантографа и сил упругости двух пружин:

;

Мощность указанных сил определяем как скалярное произведение вектора силы на вектор скорости точки ее приложения:

В том случае, когда сила приложена к вращающемуся элементу, удобно определять мощность по произведению момента силы относительно оси вращения элемента на угловую скорость его вращения:

В нашем случае:

;

;

;

;

Мощность силы упругости половины пружины:

Здесь величина силы упругости, определяемая как произведение коэффициента жесткости пружины и полной деформации пружины, которая складывается из рабочего хода и статической деформации . Рабочий ход пружины (перемещение точки ) выражается через обобщенную координату также как скорость точки через обобщенную скорость: .

Следует учесть, что растяжение пружины на величину происходит и с одним и с другим ее концом т.е. полная мощность силы упругости пружины

.

В результате суммарная мощность принимает вид:

;

или .

То есть .

Величину статической деформации пружины определяем из условия равновесия: . В нашем случае , откуда ,

Подставив полученное выражение в формулу для , получим:

.

Здесь коэффициент жесткости системы.

5. Определение частоты свободных колебаний пантографа.

Подставляем полученные выражения кинетической энергии и обобщенной силы в уравнение Лагранжа II рода:

;

После выполнения необходимых операций получим дифференциальное уравнение свободных колебаний:

; или

.

Здесь циклическая частота свободных колебаний.

В нашем случае .

Период полного колебания составляет:

6. Определение частот вынужденных колебаний пантографа.

Скорость движения электропоезда меняется от 0 до 120 км/ч. Колебания, вызванные перемещениями токосъемника вместе с контактным проводом во время движения, являются вынужденными колебаниями пантографа. Контактный провод можно считать провисающим по синусоиде с вершинами у опор контактной сети. Таким образом, период вынужденных колебаний соответствует времени прохождения составом расстояния между опорами. Приняв расстояние равным получим граничные значения периода и частоты вынужденных колебаний:

;

Этому периоду соответствует частота

,

т.е. частота вынужденных колебаний может меняться от 0 до .