12.3. Векторное произведение векторов

	Рис.4.1

Пусть ориентация векторного пространства V₃ задана правой трой­кой .

В екторным произведением неколлинеарных векторов и , взя­тых в данном порядке, назовем вектор , длина и направление которо­го определяются следующим образом:

Рис.4

1) длина вектора численно равна площади параллелограмма ОАВС;

2) вектор перпендикулярен и : , ;

3) образуют правую тройку, то есть базис, одноимен­ный с базисом , .

Обозначение .

Свойства векторного произведения

1) , - антикоммутативность

2) , - ассоциативность

3) . - дистрибутивность (12.3)

4)

5) Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на векторах и

6) Векторное произведение не изменится, если один из сомножителей , например , заменить его проекцией на прямую, лежащую в плоскости векторов и перпендикулярную вектору

1) □ Если || , то справедливость свойства очевидна. Если , то из первых двух условий определения векторного произведения следует, что и имеют равные длины и перпендикулярны плоскости векторов и . Для того, чтобы видеть кратчайшие повороты вектора к вектору и вектора к вектору , необходимо смотреть на плоскость векторов и с противоположных сторон. Следовательно, .■

2) □ Если || или , то справедливость свойства очевидна. Пусть и , тогда из первых двух условий определения векторного произведения следует, что и или равны или противоположны.

Пусть . Векторы , а также образуют правую тройку. С другой стороны и тоже образуют правую тройку. Следовательно, тройки и имеют одинаковую ориентацию и .

Пусть . Векторы , а также образуют левую тройку. Следовательно, . ■

	Рис.4.3

5) □ Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна .■

6)□ Модуль вектора равен площади параллелограмма . Так как , то , следовательно, . ■

4) □ Пусть векторы и имеют в некотором правом ортонормированно базисе соответственно координаты , . Так как ,

, то

= ■