Xlvi. В урне находится 7 шаров, среди которых 3 белых. Наугад вынимается 2 шара. Какова вероятность, что оба они белые?

Ответ:

В этой задаче можно применить частный вариант формулы гипергеометрического распределения (см. ответ на XXXIV, но с учётом, что все вынутые шары одного цвета). При этом искомая вероятность вычисляется как:

Xlvii. Изделия некоторого производства содержат 10% брака. Какова вероятность, что среди трёх наугад взятых изделий одно окажется бракованным?

Ответ:

Это схема опытов Бернулли с , и . Поэтому искомая вероятность имеет значение:

XLVIII. Пусть некоторая случайная величина обладает ФР , показанной на рисунке. В каких точках числовой оси находятся спектральные значения этой СВ и каков её тип? Каково значение вероятности следующего события с СВ: ?

Ответ:

Спектральные значения любой СВ сосредоточены в точках роста ФР. Из графика видно, что рассматриваемая ФР растёт на областях [-1, 1] и [2, 3] значений аргумента. Причём в точках -1 и 1 ФР совершает скачки, а в остальных точках – непрерывна.

Всё это говорит о том, что данная ФР описывает собой СВ дискретно-непрерывного типа: с дискретной частью спектра на множестве {-1; 1} и с непрерывной частью спектра на множестве {(-1, 1);.[2, 3]}.

Искомая вероятность события с СВ вычисляется как приращение её вероятностной массы на отрезке (-1, 1], что по определению и свойствам ФР СВ есть:

Откуда по графику ФР окончательно получаем:

Xlix. В урне имеется 3 белых и 2 чёрных шара. Все шары наугад по одному вынимаются. Какова вероятность, что последним будет чёрный шар?

Ответ:

Это просто вероятность вынуть чёрный (очевидно, если шары вынимать с закрытыми глазами); поэтому искомая вероятность есть .

L. Пусть на РЛС (радиолокационную станцию) равновозможно поступает либо только шум (нет цели), либо смесь сигнала с шумом (есть цель). Известно, что решающее устройство РЛС при наличие только шума может ошибиться и зарегистрировать цель (ошибка ложной тревоги) с вероятностью 0.1; а при наличие сигнала с шумом цель правильно регистрируется (нет ошибки пропуска цели) с вероятностью 0.7. И пусть решающее устройство зарегистрировало цель. Какова вероятность, что РЛС не ошиблась?

Ответ:

И меются две равновозможные априорные гипотезы: – нет цели и – есть цель. По условию . Пусть событие – РЛС зарегистрировала цель. При гипотезах это событие имеет вероятности: и . Тогда искомая вероятность есть апостериорная вероятность гипотезы , что по формуле Байеса даёт:

LI. (Квадратичная ФР) Точка бросается наугад в круг радиуса . При этом вероятность попасть в любую область в круге пропорциональна площади области. Найти ФР и плотность расстояния точки от центра круга. Нарисовать графики.

Ответ:

По смыслу ФР анализируемой СВ для текущего значения расстояния, как – это вероятность точкам попасть в круг радиуса с площадью . И по геометрическому определению Бюффона такая вероятность есть – поскольку в задаче имеется в виду непрерывная схема испытаний с равновозможными исходами, общей площадью .