13. Интегральные оценки качества

Интегральные оценки качества представляют собой интегралы по времени (в пределах от 0 до ) от некоторой функции управляемой переменной X(t) или сигнала ошибки X(t):

(8)

Подынтегральная функция f₀ выбирается таким образом, чтобы интеграл (8) лучше характеризовал качество системы. Чтобы интеграл был сходящимся, в функцию f₀ вводят не абсолютное значение X(t), а ее отклонение от установившихся значений.

Простейшей интегральной оценкой является линейная интегральная оценка:

(9)

которая равна площади, заключенной между прямой Х(w) и кривой X(t) (рис. 6, а, б). Интегральная оценка (9) учитывает как величину динамических отклонений, так и длительность их существования. Поэтому, чем меньше оценка, тем лучше качество процесса управления.

На рис. 6, а показан переходный процесс, вызванный возмущением, а на рис. 6, б - изменением задающего воздействия.

Если выбрать в качестве целевой функции при оптимизации САУ по быстродействию интегральную оценку, то настроечные параметры регулятора (варьируемого звена) необходимо изменять таким образом, чтобы интегральная оценка была минимальна, т.е. I ->min. После такой процедуры регулятор будет иметь оптимальные настроечные параметры. Абсолютное значение интегральной оценки не связано с числовыми показателями качества.

Недостатком линейной интегральной оценки I₁ является то, что ее можно применять лишь для заведомо не колебательных (апериодических) переходных процессов. Интеграл (9), вычисленный для знакопеременной кривой (рис. 6, в), будет существенно меньше интеграла, вычисленного для апериодической кривой, хотя качество переходного процесса в этом случае будет значительно хуже. Это связано с тем, что значение интеграла зависит от знаков площадей подынтегральной функции. В предельном случае ухудшения качества переходного процесса, когда он будет иметь незатухающий колебательный характер, I₁ уменьшится до нуля.

В связи с этим для колебательных переходных процессов применяют такие интегральные оценки, знакопеременность подынтегральной функции которых тем или иным способом устранена. Таким свойством обладает квадратичный интегральный критерий

(10)

в котором знаки площади не принимаются во внимание.

а б в г

Рис. 6. Интегральные оценки качества переходных процессов

Этот критерий является наиболее широко используемым интегральным критерием. Однако выбор варьируемых параметров по минимуму I₂ дает колебательный переходный процесс обычно с довольно большой колебательностью. Поэтому в тех случаях, когда такой процесс неприемлем, переходят к интегральному критерию

(11)

Интеграл I₃ состоит из двух частей, т.е. может быть представлен в виде суммы двух интегралов (аддитивная форма представления интеграла). Первый является прежним интегралом I₂ от (DХ)², а второй - интегралом от (DХ ')². Если при одном и том же значении площади переходного процесса, т.е. неизменной величине первого интеграла, замедлить (растянуть) переходный процесс во времени, то соответственно уменьшится второй интеграл от квадрата скорости изменения X. Поэтому при вариации некоторых параметров системы минимум интеграла I₃ по сравнению с интегралом I₂ будет при более медленном и менее колебательном процессе. При этом замедление процесса будет тем больше, чем больше взята величина а, определяющая относительный вес составляющих интеграла I₃ от DХ и DХ '.