§2.5 Признаки сходимости знакоположительных рядов

Определение 15. Числовой ряд

(6)

Называется знакоположительным, если то ряд называется знакоотрицательным

И те и другие называются знакопостоянными

Теорема 16. (основной признак)

Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены сверху, то есть

Доказательство:

Пусть ряд сходится, по определению это означает, что существует предел последовательности частичных сумм сходится предел

Следовательно, она ограничена, следовательно ограничена сверху

Достаточность.

Пусть последовательность частичных сумм ограничена сверху, следовательно, она ограничена снизу (например, 0)

Последовательности частичных сумм неубывающие, то есть монотонные

Следовательно, всякая ограниченно монотонная последовательность сходится.

Последовательность - сходится, значит сходится ряд

Теорема 17. (признак разреженности)

Пусть члены знакоположительного ряда монотонно убывают и все они не отрицательные, тогда числовой ряд (6) сходится тогда, когда сходится ряд

Доказательство:

По основному признаку достаточно установить ограниченность частичных сумм, обозначим

(6) ⇾ Sn=

(7) ⇾

Очевидно, что

будем иметь

Это значит по основному признаку, если частичная сумма ограничена сверху, то ограничены частичные суммы

То есть, если ряд (7) сходится, то ряд (6) – тоже сходится

Оценим сумму

Следует, если ограничены сверху частичные суммы ряда (6), то и ограничены частичные суммы ряда (7)

То по основной теореме он сходится

Пример.

Обобщенно-гармонический ряд (Дирихле)

Исследовать на сходимость в зависимости от параметра

1) - частичные суммы не ограничены, ряд расходится

2) - применим теорему 17(признак разреженности)

Рассмотрим ряд

Вывод: обобщенно – гармонический ряд сходится при , расходится при

Теорема 18. (признак сравнения)

Пусть даны 2 знакоположительных ряда

Выполняется такое условие , тогда

А)если ряд 9 сходится, то сходится и ряд 8

Б) если ряд 8 расходится, то расходится и ряд 9

Доказательство:

Обозначим частичные суммы рядов

Sn =

А) пусть ряд 9 сходится, тогда - ограничена, , так как ряды 7,8 знакоположительные

(10) ⇾ Sn

Частичные суммы ряда 8 ограничены сверху, следовательно, по основному признаку он сходится

Б) от противного

Пусть 9 сходится, тогда из неравенства 8 – тоже сходится

Пример.

1)

Ряд сходится, тогда в силу признака сравнения сходится и тот ряд

2) необходимый признак выполняется

Обобщенно – гармонический ряд расходится, значит исходный ряд расходится

Теорема 19. (предельный признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда (7) и (8) и существует конечный предел

То эти ряды одновременно сходятся или расходятся

Доказательство:

Пусть существует предел С, сто С

Рассмотри интервал с центром в точке С, так как предел (11) существует С, то начиная с некоторого n то члены последовательности попадут в интервал или

Допустим, что ряд (9) сходится, тогда и из признака сравнения может следовать, что ряд (8) сходится, следовательно - сходится

Предположим, что сходится ряд (8) тогда из неравенства по признаку сравнения

Это значит, что сходится ряд (9)

Пример

проверим необходимый признак

Проверим достаточный признак, воспользуемся признаком сравнения в предельной форме и сравним этот ряд с обобщенно – гармоническим рядом

При гармонический ряд сходится, значит и наш тоже сходится

Теорема 20 (признак Даламбер)

Если существует предел то знакоположительный ряд сходится при , расходится при

Доказательство:

А)пусть , тогда

Рассмотрим (p,q) с центром в точке ,тогда по определению начиная с некоторого n предел существует, так как все члены последовательности - лежат в интервале (p,q)

можно записать

- сходится как геометрическая прогрессия при

Тогда сходится , следовательно, сходится , так как он получается из предыдущего добавлением конечного числа слагаемых

2) пусть , тогда начиная с некоторого N будет выполняться

Значит члены ряда не убывают, следовательно ряд расходится

Признак Даламбер удобно применять, когда общий ряд содержит , а когда обобщенный член содержит степенные и рациональные, удобно применять признаки сравнения

Пример

по теореме ряд расходится

Теорема 21. (признак Коши)

Если существует конечный предел

То знакоположительный ряд сходится при , расходится при

Доказательство:

А)пусть , тогда

Из определения предела следует, что начиная с некоторого N:

не превосходит члены

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сходится

Тогда по признаку сравнения сходится , тогда сходится , он отличается на такое число , следовательно, при ряд сходится

2) пусть

Это означает, начиная с некоторого n, , не выполняется необходимый признак сходимости, следовательно ряд расходится

Замечание.

Признак Даламбера и признак Коши не дают ответа, в случае когда , в этом случае применяют другие признаки

Пример. Исследовать сходимость

применим признак Коши

следовательно ряд сходится

Определение числа e

1)рассмотрим ряд

Покажем, что он сходится

этот ряд как геометрическая прогрессия сходится, q=

По признаку сравнения – сходится и его сумму обозначим

Оценим величину

Оценим погрешность, в которой частичная сумма

Рассмотрим разность

Погрешность от замены суммы частичной суммой не превосходит

1 Вычислить число , то есть проссумировать ряд с точностью до

N=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

чтобы вычесть с точностью до надо взять 8 слагаемых

2. Покажем, что

(формула Бинома-Ньютона)

Мы получили, что

сходится и он равен , тогда

последовательность - возрастает и ограничена сверху, а следовательно она сходится. Найдем её

Ясно, что при

То по теореме сравнения предел тоже будет равен е