Тема 1.1.2 Міжатомна взаємодія

1 . В іонному кристалі пара протилежно заряджених двовалентних іонів знаходиться у рівноважному стані на відстані 2,40 один від одного. Припускаючи, що в рівнянні для енергії взаємодії іонів, яка визначає іонний зв’язок і описується виразом , n = 9, знайти енергію, яка необхідна для розділення іонів.

Д ано: Рішення

Z₁ = Z₂ = 2

n = 9

е = 1,6·10^-19Кл

а = 2,40 = 2,40·10^-10м

W -?

Для розділення іонів їм необхідно надати енергію, яка дорівнює енергії зв’язку. З формули, що визначає фізичний зміст енергії зв’язку, можна знайти її величину, як роботу потрібну для розділення іонів:

(1)

У рівноважному стані енергія взаємодії іонів мінімальна. Тоді з умов мінімуму потенціальної енергії U знайдемо константу b:

,

звідси (2)

Тоді з урахуванням виразу (2), рівняння (1) запишеться:

Дж =21,3 еВ

2 . У ковалентних кристалах алмаза С-С зв’язок має енергію 3,7 еВ. Знайти енергію необхідну для випаровування 0,01 г алмаза, враховуючи, що кожний атом вуглецю бере участь у чотирьох зв’язках.

Д ано: Рішення

Е = 3,7еВ = 5,92·10^-19Дж

m = 0,01г = 1·10^-5кг

n = 4

М = 12·10^-3кг/моль

1

W - ?

Кристалічна решітка алмазу уявляє собою дві вставлені одна в одну г.ц.к. решітки, зсунуті одна відносно другої уздовж просторової діагоналі на чверть її довжини. Як видно з малюнку кожен атом вуглецю пов’язаний з чотирма найближчими атомами. Враховуючи, що С-С зв’язок об’єднує два атома, то на кожен атом пари припадає енергія, яка дорівнює половині енергії зв’язку пари. Тоді для випаровування одного атома вуглецю, який пов’язаний з чотирма сусідніми атомами, потрібна наступна енергія:

Знайдемо кількість атомів вуглецю в масі алмазу m:

Отже енергія, необхідна для випаровування маси алмаза m буде дорівнювати:

Дж = 3,71·10¹⁵МеВ

3 . З якою силою притягуються між собою сусідні іони цезію та хлору в кристалі хлористого цезію, який має густину 2,3 г/см³? Молярна маса цезію 132,9·10^-3 кг/моль, а хлору 35,4·10^-3кг/моль.

Д ано: Рішення

ρ = 2,3г/см³ = 2,3·10³кг/м³

М_Сs = 132,9·10^-3кг/моль

М_Сl = 35,4·10^-3кг/моль

F - ?

СsCl є іонним кристалом, тому взаємодія між іонами Сs і Cl являється кулонівською, а сила їх протягування описується законом Кулона:

Враховуючи, що q₁ = q₂ = е, ε = 1, можна записати:

(1)

Структура СsCl уявляє собою сукупність двох примітивних кубічних решіток Браве з іонів Сs і Cl, які зсунуті одна відносно іншої на половину довжини просторової діагоналі куба. Тому в цьому кристалі можна виділити комірку у вигляді об’ємноцентрованого куба, в якій кожний позитивний іон цезію оточений вісьмома негативними іонами хлору.

Знайдемо r. З рисунку бачимо, що

(2)

Знайдемо об’єм одного моля кристала СsCl, враховуючи, що на об’єм однієї комірки а³ припадає n молекул СsCl, тоді:

, або , (3)

де кг/моль – молярна маса кристала СsCl.

Знайдемо кількість молекул СsCl в об’ємі а³, враховуючи, що кожний з восьми іонів Cl у вершинах куба належить восьми коміркам, тобто , а іон Сs належить тільки одній комірці. Тому на об’єм а³ припадає один іон Сs і один іон Cl. Таким чином, одна молекула СsCl міститься в об’ємі а³, отже n = 1. Тоді, прирівнюючи формули (3), отримаємо:

.

Звідки

(4)

Остаточно, підставляючи формулу (2) в (1), з урахуванням (4), маємо:

Н

4. При температурі, яка на 10⁰С менша температури плавлення алюмінію , на долю вакансій припадає 0,08% місць в кристалічній решітці, а при 484⁰С – тільки 0,01% місць. Знайти енергію утворення вакансій і концентрацію вакансій при 527⁰С. Враховуючи, що температура плавлення алюмінію 933К, густина 2,699г/см³. Константу С у виразі для концентрації вакансій прийняти такою, що дорівнює 10.

Д ано: Рішення

ΔТ = 10⁰С = 10К

М = 27·10^-3кг/моль

Т₂ = 484⁰С + 273 = 757К

Т₃ = 527⁰С + 273 = 800К

Т_пл = 933К

Ρ = 2,699г/см³ = 2,699·10³кг/м³

С = 10

Е - ? n₂ - ?

Кількість вакансій в кристалі залежить від температури експоненційно:

, (1)

де N₀ – кількість атомів у вузлах ідеальної кристалічної решітки. Логарифмуємо рівняння (1), записавши його для температур Т₁ і Т₂ та розв’язуючи

їх сумісно, знайдемо енергію утворення вакансій Е. Враховуємо, що К:

, ,

звідси

Дж = 0,75еВ

Концентрацію вакансій при температурі Т₃ знайдемо з рівняння (1), враховуючи, що , , або :

м^-3

5. Пара кисень-водень має електричний момент 3,33·10^-29Кл·м. Знайти електричний момент молекули води у кристалі льоду, в якому середній кут зв’язку складає 104,5⁰.

Примітка: Ковалентні зв’язки мають визначену орієнтацію у просторі, тому їх розташування характеризується середнім кутом зв’язку. «Середнім» тому, що атоми знаходяться у безперервному русі, здійснюючи ~10¹³ коливань у секунду, таким чином кут може бути різним.

Д ано: Рішення

ρ₀ = 3,33·10^-29Кл·м

α = 104,5⁰

р - ?

Електричний момент триатомної молекули визначається векторною сумою двох складових О-Н-моментів

або у скалярному вигляді

Кл·м

2. Задачі для самостійного розв’язання

1. Визначити кількість атомів, що припадають на одну елементарну комірку в простій кубічній, а також в о.ц.к. (об’ємноцентрована кубічна) решітці. (n₁ = 1, n₂ = 2)

2. Визначити кількість елементарних комірок у одиниці об’єму кристала міді , який має г.ц.к. решітку. Густина міді 8,9г/см³. (z₀ = 2,1·10²⁸м^-3)

3. Знайти кількість атомів в одиниці об’єму алюмінію . Густина алюмінію 2,7·10³кг/м³. (n = 6,02·10²⁸м^-3)

4. Визначити період кристалічної решітки кристалу молібдену , що має о.ц.к. решітку. Густина молібдену 10,2·10³ кг/м³. (а = 3,15·10^-10м)

5. Знайти густину кристала стронцію , який має г.ц.к. решітку. Відстань між найближчими сусідніми атомами в кристалі дорівнює 4,3 . (ρ = 4,7·10³кг/м³)

6. Густина кристала NaCl, який має просту кубічну решітку, дорівнює 2,18г/см³. Атомна маса натрію 23, а хлору 35,46. Визначити сталу решітки NaCl, яка увляє собою сукупність двох г.ц.к. решіток з іонів Na та Cl, що зміщені одна відносно другої на половину ребра куба. (а = 2,8 )

7. α-залізо має о.ц.к. структуру з параметром 2,86 , а γ-залізо – г.ц.к. структуру з параметром 3,56 . Як зміниться густина заліза при переході його з α- в γ-модифікацію? ( )

8. Обчислити коефіцієнт компактності простої кубічної о.ц.к та г.ц.к. решіток. (α₁ = 0,52, α₂ =0,68, α₃ =0,74)

9. В іонному кристалі енергія взаємодії двох протилежно заряджених іонів залежить від відстані між їх центрами наступним чином: , де α = 58·10^-29Дж·м, β = 5·10^-105Дж·м⁹. Знайти рівноважну відстань між цими іонами та повну потенціальну енергію двох іонів в рівноважному стані. У скільки разів в рівноважному стані енергія притягнення іонів відрізняється від енергії відштовхування? При якій мінімальній відстані між іонами виникне зруйнування конфігурації. (r₀ = 3,1·10^-10м, U₀ = -16,8·10^-19Дж, , r_min = 3,8·10^-10м)

10. Енергія, яка необхідна для випаровування 0,2г германію дорівнює 950Дж. Знайти енергію, яка припадає на зв’язок , враховуючи, що кожен атом германію бере участь у чотирьох зв’язках (Е = 3,84·10^-19Дж).

11. Концентрація вакансій в металі при температурі 950⁰С у п’ять разів більша їх концентрації при температурі 800⁰С. Знайти енергію утворення вакансій в цьому металі. (Е = 1,94·10^-19Дж)

12. Електричний момент молекули сіркастого водню Н₂S дорівнює 6,15·10^-29Кл·м. Знайти електричний момент пари сірка-водень, якщо середній кут зв’язку молекули Н₂S дорівнює 93,3⁰. (р₀ = 4,48·10^-29Кл·м)