4.3. Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события А и B. Пусть вероят­ности P (А) и Р_A(В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие A и событие B? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема 4.1. Вероятность совместного появления двух со­бытий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предпо­ложении, что первое событие уже наступило;

. (4.2)

P (АВ)/Р(А) Р(АВ) = Р(А) .

Применив формулу (4.2) к событию ВА, получим

P (ВА) = Р (В)P_В (А), или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,

P (АВ) = P (В)Р_В(А). (4.3)

Сравнивая формулы (46.2) и (46.3), заключаем о справедливости ра­венства

P (А) = Р (В) Р_В(А)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появи­лись:

,

где - вероятность события , вычислен­ная в предположении, что события

на­ступили. В частности, для трех событий-

.

Порядок, в котором расположены собы­тия, может быть выбран любым,

Пример. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероят­ность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется ко­нусным (событие А),

P (А) = 3/10.

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность

=7 /9. По теореме умножения, искомая вероятность

Р (АВ) = Р (А) = (3/10) (7/9) = 7/30.

Пример. В урне находятся 6 белых и 6 черных шаров. Три шара последовательно извлекается и не возвращается в урну. Найти вероятность того, третий извлеченный шаров окажется белым.

Решение

Событие A - третий извлеченный шаров окажется белым. Событие A состоит из событий

,

где B - извлечен шар белого цвета, С - извлечен шар черного цвета. События несовместны. Используем формулу суммы несовместных событий и произведения зависимых событий, так как при не возвращении шаров вероятности извлечения шара белого цвета p и черного цвета q меняются.

Ответ: 0,5.

4.4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Пусть вероятность события B не зависит от по­явления события А.

Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности события B, т. е. если условная вероятность события B равна его безусловной вероятности:

(4.4)

Подставив (4.4) в соотношение (4.2), получим

= P (В) Р_В(А)=P(А)P (В)

Условная вероятность события A в предположении, что наступило событие B, равна его безусловной вероят­ности. Другими словами, событие A не зависит от со­бытия В.

Итак, если событие B не зависит от события A, то и событие A не зависит от события B; это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения P (АВ) = Р (А) Р_А (В) имеет вид

, (4.5)

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (3.5) принимают в качестве определения не­зависимых событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависи­мыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.

Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (собы­тие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.

Решение. Вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» неза­висимы. Поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность

Р (АВ) = Р(А) Р (В) = 0,7 0,8 = 0,56.

Замечание 1. Если события A и B независимы, то незави­симы также события A и , и В, и .

Докажем , что A и независимы.

Пусть A и B независимые события.

А = A + АВ

События A и АВ несовместны, тогда

Р(А) = Р(А )+Р(АВ)= Р(А ) + Р(А)Р(В)

P (A )=Р(A)[1 - Р(В)], или Р(А )=Р(А)Р( ),

т. е. события A и независимы.

Независимость событий и B, и - следствие доказанного утверждения.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Например, события A, В, С попарно независимы, если независимы события A и B, А и C, B и С.

Для того чтобы обобщить теорему умножения на не­сколько событий, введем понятие

независимости событий в совокупности.

Несколько событий называются независимыми в совокуп­ности (или просто независимыми), если независимы ка­ждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Например, если со­бытия независимы в совокупности, то неза­висимы события и , и , и ; и , и , и . Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероят­ность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие собы­тия из числа остальных, равна, его безусловной вероят­ности.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Приведем теперь следствие из теоремы умножения.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

. (4.6)

Рассмотрим три события: А, В и С. Совмещение событий А, В и С равносильно сов­мещению событий АВ и C. Так как события А, В и С независимы в совокуп­ности, то независимы, в частности, события АВ и С, а также А и В. По теореме умножения для двух неза­висимых событий имеем:

Р(АВС) = Р (АВ) Р (С) и Р (АВ) =Р(А) Р (В).

Итак, окончательно получим

Р (ABC) = Р (А) Р (В) Р (С).

Для произвольного n доказательство проводится ме­тодом математической индукции.

Замечание. Если события независимы в со­вокупности, то и противоположные им события также независимы в совокупности.