20.8. Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия – средняя арифметическая квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего.

Если все значения различны, то

.

Если значения выборки имеют соответствующие частоты, то

, .

Выборочным средним квадратическим отклонением называется арифметический квадратный корень из выборочной дисперсии .

Вычисление дисперсии можно упростить, используя формулу

.

Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсия

Если выборка разбита на ряд групп, то можно вычислить групповые дисперсии.

Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней

где – частота значений , j - номер группы, - групповая средняя, - объем группы j.

Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по объемам групп

,

где j - номер группы, - объем группы, n = - объем выборки.

Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общей средней

,

где j - номер группы, - групповая средняя, - объем группы, n - объем выборки

Общей дисперсией называют дисперсию всех значений признака относительно общей средней

Теорема 20.1. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

.

20.6. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии

Пусть из генеральной совокупности в резуль­тате n независимых наблюдений над количественным при­знаком X извлечена повторная выборка объема n. Значения признака , частоты , .

Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию . Если в ка­честве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии.

Рассмотрим оценку дисперсии

,

где m = M(X).

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь n/(n—1). Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают :

Вывод - исправленная дисперсия является несме­щенной оценкой генеральной дисперсии.

Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квад­ратному корню из исправленной дисперсии: .

При больших значениях n объема выборки выборочная и исправ­ленная дисперсии различаются мало. На практике пользуются исправ­ленной дисперсией, если n < 30.