82.4 Нахождение параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по несгруппированным данным

Пусть изучается система количественных приз­наков (X,Y). В результате п независимых опытов полу­чены п пар чисел .

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии. Для определенности будем искать уравнение регрессии Y на X.

Поскольку различные значения x признака X и соот­ветствующие им значения у признака Y наблюдались по одному разу, то группировать данные нет необходи­мости. Также нет необходи­мости использовать понятие услов­ной средней, поэтому искомое уравнение можно записать так .

Угловой коэффициент прямой линии регрессии Y на X называют выборочным коэффициентом регрессии Y на X и обозначают ; он является оценкой коэффици­ента регрессии .

Будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X вида

(*)

Подберем параметры и b так, чтобы точки , построенные по данным наблюдений, на плоскости хОу лежали как можно ближе к прямой (*).

Назовем отклонением разность

- ,

где - вычисленная по уравнению (*) ордината, соответ­ствующая наблюдаемому значению ; — наблюдаемая в опыте ордината, соответствующая .

Подберем параметры и b так, чтобы сумма квад­ратов отклонений была минимальной (в этом состоит сущность метода наименьших квадратов). Так как каж­дое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F эти параметров

Для отыскания минимума приравняем нулю частное производные

(**)

Следовательно, получили уравнение регрессии Y на X:

(82.1)

Аналогично находится выборочное уравнение регрессии X на Y

Пример

82.2Корреляционная таблица и корреляционное поле

При большом числе наблюдений одно и то же значение x может встретиться раз, y - раз, одна и та же пара (x,y) - раз. Поэтому данные группируют, то есть посчитывают частоты . Все сгруппированные данные записывают в виде корреляционной таблицы. Она имеет вид (таблица 1). В первой строке таблицы указаны наблюдаемые зна­чения … признака X, а в первом столбце — наблюдаемые значения … признака Y. На пе­ресечении строк и столбцов находятся частоты наблю­даемых пар значений признаков. Черточка означает, что соответственная пара чисел не наблюдалась.

Поданным этой таблицы стоят корреляционное поле. Для этого в системе координат XOY строят точки .

Таблица 1

Y	X
		…
		…
…	…	…	…	…
		…
		…		n

Пример

Нахождение уравнения линейной регрессии по сгруппированным данным

При выводе уравнений предполагалось, что значения X и соответствующие им значения Y наблюдались по одному разу. Теперь же допустим, что получено большое число данных (практи­чески для удовлетворительной оценки искомых парамет­ров должно быть хотя бы 50 наблюдений), среди них есть повторяющиеся, и они сгруппированы в виде корреля­ционной таблицы. Запишем систему уравнений (**) так, чтобы она отражала данные корреляционной таблицы. Восполь­зуемся тождествами:

где n — объем выборки, - выборочные средние, и учтено, что пара чисел (x,у) наблюдалась раз.

Подставив правые части тождеств в систему (**) и сократив обе части второго уравнения на n, получим

Выразив из второго уравнения системы уравнение (82.1) примет вид

(82.2)