38.2. Общая, факторная и остаточная суммы квадратов отклонений

Пусть на количественный нормально распреде­ленный признак X воздействует фактор F, который имеет p постоянных уровней. Будем предполагать, что число наблюдений (испытаний) на каждом уровне одинаково и равно q.

Пусть наблюдалось n = pq значений признака X, где i — номер испытания (i = 1, 2, ..., q), j—номер уровня фактора (j=1, 2, ..., p). Результаты наблюдений при­ведены в табл.1.

Таблица 1

Номер испытания	Уровни фактора
			…
1			…
2			…
…	…	…	…
q
Групповая средняя			…

Введем, по определению: общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значе­ний от общей средней :

,

факторную сумму квадратов отклонений групповых сред­них от общей средней, которая характеризует рассеяние «между группами»:

;

остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней, которая характеризует рассеяние «внутри групп»:

.

38.3 Связь между общей, факторной и остаточной суммами

Покажем, что .

Для упрощения вывода ограничимся двумя уровнями (p = 2) и двумя испытаниями на каждом уровне (q = 2). Результаты испытаний представим в виде табл. 2.

Таблица 2

Номер испытания	Уровни фактора
1
2
Групповая средняя

Тогда .

Вычтем и прибавим к каждому наблюдаемому значению на первом уровне групповую среднюю , а на втором - . Выполнив возведение в квадрат и учитывая, что сумма всех удвоенных произведений равна нулю, получим

.

Отсюда остаточную сумму находят по равенству .

Более удобные формулы для расчетов:

,

где - сумма квадратов значений признака на уровне , - сумма значений признака на уровне .

Для упрощения вычислений вычитают из каждого значения признака одно и то же число C, примерно равное общей средней. Обозначим , тогда

где - сумма квадратов значений признака на уровне , - сумма значений признака на уровне .

Пояснения.

1. Убедимся, что характеризует воздействие фактора F. Допустим, что фактор оказывает существенное влияние на X. Тогда группа наблюдаемых значений признака на одном определенном уровне, вообще говоря, отличается от групп наблюдений на других уров­нях. Следовательно, различаются и групповые средние, причем они тем больше рассеяны вокруг общей средней, чем большим окажется воздействие фактора. Отсюда сле­дует, что для оценки воздействия фактора целесообразно составить сумму квадратов отклонений групповых сред­них от общей средней (отклонение возводят в квадрат, чтобы исключить погашение положительных и отрица­тельных отклонений). Умножив эту сумму на q, получим . Итак, характеризует воздействие фактора.

2. Убедимся, что отражает влияние случайных причин. Казалось бы, наблюдения одной группы не должны различаться. Однако, поскольку на X, кроме фактора F, воздействуют и случайные причины наблюде­ния одной и той же группы, вообще говоря, различны и, значит, рассеяны вокруг своей групповой средней. Отсюда следует, что для оценки влияния случайных при­чин целесообразно составить сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений каждой группы от своей групповой средней, т. е. . Итак, характеризует воздействие случайных причин.

3. Убедимся, что отражает влияние и фактора и случайных причин. Будем рассматривать все наблюдения как единую совокупность. Наблюдаемые значения при­знака различны вследствие воздействия фактора и случай­ных причин. Для оценки этого воздействия целесообразно составить сумму квадратов отклонений наблюдаемых зна­чений от общей средней, т. е. . Итак, характеризует влияние фактора и случай­ных причин.

Приведем пример, который наглядно показывает, что факторная сумма отражает влияние фактора, а остаточ­ная — влияние случайных причин.