2. Аналитическое выражение связей и их классификация.

Связь – любое ограничение на механическое движение. При аналитическом исследовании нужно уметь записывать связи аналитически, т.е. в виде формул.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N точек. Положение точек будем определять декартовыми координатами . Для упрощения всех записей введём следующие обозначения:

1616\* MERGEFORMAT ()

В силу обозначений (16) любую связь в виде формулы (аналитически!) можно задать в виде, или

1717\* MERGEFORMAT ()

или

1818\* MERGEFORMAT ()

Чтобы убедиться в этом рассмотрим ряд примеров.

А) Две точки связаны стержнем длины и движутся в пространстве.

Связь

1919\* MERGEFORMAT ()

В) Две точки связаны нитью с максимальной длиной .

Связь

2020\* MERGEFORMAT ()

С) Точка движется в плоскости Oxy по окружности, радиус которой изменяется по какому-либо закону, например, по

На точку наложены две связи:

2121\* MERGEFORMAT ()

2222\* MERGEFORMAT ()

D) Точка движется в плоскости Oxy по окружности радиуса R, центр которой движется вдоль оси x с постоянной скоростью v.

Снова две связи: и

2323\* MERGEFORMAT ()

E) Точки системы могут двигаться в пространстве только так, что их скорости перпендикулярны радиус-векторам, т.е. .

Эту связь можно расписать следующим образом

2424\* MERGEFORMAT ()

F) Конёк движется по плоскости. Чтобы не падать, скорость точки контакта конька со льдом должна быть направлена вдоль конька.

Эта связь может быть записана так.

2525\* MERGEFORMAT ()

Теперь, убедившись на примерах, что любую связь можно записать в виде (17), или (18), перейдём к классификации связей по виду аналитической записи.

Выражение связи может быть записано в виде равенства, или в виде неравенства. По этому признаку связи делятся на

I. Удерживающие и неудерживающие.

Связь называется удерживающей, если её аналитическое выражение записано в виде равенства.

Связь называется неудерживающей (односторонней), если её аналитическое выражение записано в виде неравенства.

Во всех приведённых примерах, кроме второго (пример В)), связи – удерживающие. В примере В) связь (20) – неудерживающая.

Неудерживающие связи разделяют движение на две части: при выполнении строгого неравенства (<) никаких ограничений на координаты не накладывается; при выполнении равенства связь превращается в обычную удерживающую связь. Поэтому дальше будем рассматривать только удерживающие связи.

В уравнение связи может входить, или не входить, явно время t. По этому признаку связи подразделяют на:

II. Стационарные и нестационарные.

Связь называют стационарной, если в её аналитическое выражение не входит явно время t, т.е., если

Связь называют нестационарной, если в её аналитическое выражение явно входит время t,

Связи (22) и (23) примеров С) и D) не стационарны. Во всех остальных примерах приведённые связи стационарны.

Уравнение связи может содержать, или не содержать, производные от координат (скорости). По этому признаку связи делят на: