Задачи к лекции 9.

9.1

Оценить процентное содержание протонов в нейтронной звезде на начальном этапе нейтронизации вещества звезды =10¹¹ г/см³ , сделав определённые предположения о возможной структуре (составе) вещества, из которого впоследствии будет сформирована нейтронная звезда

Ответ: Нейтронизация вещества в нейтронной звезде, которая является конечной стадией эволюции обычной звезды с первоначальной массой М_10М_, определяется законами слабого взаимодействия и обусловлена главным образом процессом захвата ядрами электронов A(Z,N)+e^-A(Z-1,N+1)+_e. Реакция, приведенная выше, требует определенной энергии, которая может быть получена электронами при гравитационном сжатии звезды и соответствующего повышения энергии Ферми вырожденного электронного газа. Согласно принципу Паули, в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона. Поэтому в вырожденном электронном газе заполнены все состояния от наименьшей (_мин=0) до наибольшей (²_макс=р²_максс²+ m²_ес⁴), величина которой определяется числом электронов в объёме V. Число квантовых состояний электрона с импульсом р в интервале от р до р+dp равно V4p²dp/h³. Умножая эту величину на 2 (две возможные проекции спина электрона) и интегрируя по импульсам электронов от 0 до р_макс, получаем полное число N электронов в объёме V в состоянии с наименьшей возможной энергией: . Примем во внимание, что вещество звезды, в которой выгорел практически весь водород, и закончилось термоядерное горение, представляет собой смесь ядер углерода (плотное ядро) и (окружающая ядро оболочка). Реакции +e^- +_e -13,4МэВ и следующая за ней +e^- +_e -11,6МэВ происходят при энергиях значительно меньших, чем энергия реакций +e^- +_e -23,2МэВ и +e^- +n+_e -20,6МэВ. Поэтому на первом этапе преобладающими будут первые две реакции, которые и будут определять, как границу Ферми, так и соотношение между протонами и нейтронами в углеродном ядре.

Воспользовавшись условием задачи, ограничим себя лишь теми звёздами, которые являются продуктом, полученным в ходе водородного горения и гелиевого горения, а значит, содержат в своём составе лишь и . В этом случае _макс 13,4МэВ. Так как при этой энергии можно воспользоваться ультрарелятивистским приближением =рс, получаем . Учтём, что N_прот= N_эл (из условия электронейтральности звезды), а . Тогда получаем: .

9.2

Используя оценку, полученную по теореме вириала, определить среднюю температуру в центре Солнца, беря во внимание, что по современной модели Солнца 94% его массы сосредоточено в сфере радиусом R_, равным R=R_/2; (М_=210³³г, R_=710¹⁰см).

Ответ: ; .

9.3

Основным процессом, в котором происходит освобождение термоядерной энергии в звёздах типа Солнца, является превращение водорода в гелий. Оценить время полного выгорания водорода в нашем светиле, считая, что темп излучения Солнца постоянен во времени, а доля ядер водорода _Н на начальном этапе горения соответствует его распространённости после первичного нуклеосинтеза (М_=210³³г, L_=3,8310³³эрг/с, _Н=95%).

Ответ: Водородный цикл в общем виде представляется формулой 4¹Н⁴He+2e⁺+2_e. Энерговыделение составляет при этом 26,7 МэВ, что составляет 0,7% от начальной массы взаимодействующих частиц. Таким образом,

9.4

Используя оценку, полученную по теореме вириала, оценить нижний предел гравитационного давления Р_С в центре Солнца. ; (М_=210³³г, R_=710¹⁰см).

Ответ: Из уравнения гидростатики получаем , где Р_С – давление в центре звезды. Из условия, что на поверхности звезды P(R)=0, найдём или , где угловые скобки означают надлежащим способом выполненное усреднение. Таким образом, в любом случае . Для Солнца Р_{С_нижнее}=4,410¹⁴дин/см²4,410⁸атм.

9.5

Оценить время зарождения галактики, красное смещение которой соответствует z=8.

Ответ: Время зарождения галактики с красным смещением z=8 определяется разностью между временем жизни Вселенной Т₀= (Н=(72кмс^-1Мпс^-1) -постоянная Хаббла) и временем разлёта Т_разл= от момента зарождения до момента наблюдения). Т=(Т₀–Тразл)=1/H-/H=(1-)/H  2/[(z+1)²H] c учётом соотношения z+1=[(1+)/(1-)]^1/2, где =v/c (v - скорость разлёта галактики). 1Мпс=3,085710¹⁹км. Т= 0,310⁹лет.

9.6

При коллапсе массивной звезды на стадии начала нейтронизации исчерпавшего термоядерное топливо ядра, последнее значительно охлаждается за счёт испускания нейтрино. Этот процесс по мере сжатия и уплотнения ядра, в конце концов, прекращается и нейтрино оказываются запёртыми в сверхплотном ядре. Оцените, начиная с какой плотности (г/см³) начинается процесс запирания нейтрино (т.е., когда длина рассеяния нейтрино становится сравнимой с радиусом нейтронной звезды), если сечение взаимодействия нейтрино с нуклоном

_10^-43см².

Ответ: Решение ищется из условия, что длина свободного пробега частицы без соударения определяется выражением <l>=1/n_, где n-число ядер (в данном случае можно взять нуклон) в ед. объёма. Само выражение получается из условия . В качестве условия для начала запирания можно взять <l>R, где R-радиус звезды. Предположим в первом приближении, что масса звезды может быть выражена через число нуклонов, из которых состоит вещество звезды. М_=Nm_nucl. Само вещество состоит как из свободных нуклонов, так и связанных в виде ядер. В этом случае число нуклонов в единице объёма равно . Используя условие запирания, получаем . В качестве массы звезды возьмём удвоенное значение предела Чандрасекара 3М_, Беря во внимание, что =nm_nucl , получаем

9.7

Считая, что полная масса Галактики Андромеды равна 210¹¹ масс Солнца, а радиус её 10⁴ пс, вычислить гравитационное красное смещение сигнала от источника, находящегося на её периферии и принимаемого наблюдателем в межгалактическом пространстве..

Ответ: Гравитационное красное смещение Z=(_набл-_ист)/_ист является проявлением эффекта изменения частоты электромагнитных волн сигнала, испущенного некоторым источником по мере удаления от массивных объектов, таких как звёзды или их скопления и чёрные дыры. Для наблюдателя, находящегося на расстоянии значительно превышающего размеры объекта, красное смещение приблизительно равно ZGM/c²R, где G-гравитационная постоянная Ньютона; M-масса объекта; с-скорость света; R- радиальное расстояние источника от центра тела.

9.8

Определить радиус чёрной дыры, имеющей массу в полторы массы Солнца.

Ответ: Радиус чёрной дыры определяется по формуле , где G – гравитационная постоянная

М – масса чёрной дыры, с – скорость света.

9.9

С какой скоростью и в каком направлении должен двигаться спектрограф, чтобы снимаемый им спектр излучения поверхности Солнца, не содержал искажений, обязанных гравитационному полю Солнца. М_=210³³г; R_=0,710¹⁰см.

9.10

Определить плотность белого карлика с максимальной энергией вырожденного электронного газа, равной 2,5 МэВ.

Ответ: Плотность углеродно-гелиевой звезды на стадии вырождения электронного газа определяется соотношением:

9.11

9.12

9.13

9.14