Вопрос 25

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

В ортонормированном базисе (и только в нем)скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений координат сомножителей.

Координаты вектора и скалярное произведение в ортонормированном базисе

Пусть e₁, e₂,  … , e_n — ортогональный базис в n –мерном евклидовом пространстве E_n и x — произвольный вектор в E_n . Тогда

x = α1 e1 + α2 e2 + … + αn en,

где α₁, α₂,  … , α_n — координаты вектора x в базисе e₁, e₂,  … , e_n . Умножив это равенство скалярно на e_i ( i = 1,2, … ,n ), получим

(ei, x) = α1 (ei, e1) + α2 (ei, e2) + … + αi (ei, ei) + … + αn (ei, en).

Так как (e_i, e_j) = 0 i ≠ j и (e_i, e_i) = || e_i || ² , то получаем формулы для координат вектора в ортогональном базисе (формулы Эйлера–Фурье):

αi =  (ei, x) || ei || 2  ,    i = 1,2, … ,n.

В ортонормированном базисе ( || e_i || = 1 ):

αi = (ei, x),    i = 1,2, … ,n.

Теорема 1. Скалярное произведение двух векторов евклидова пространства в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений координат этих векторов.

Справедливо также обратное утверждение.

Теорема 2. Если в некотором базисе скалярное произведение любых двух векторов евклидова пространства равно сумме попарных произведений их координат в этом базисе, то этот базис ортонормированный.

Доказательства этих теорем см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия".

Замечание.

Если

X =       x1 x2 … xn         и  Y =       y1 y2 … yn      

— координатные столбцы векторов x и y в ортонормированном базисе e₁, e₂,  … , e_n , то их скалярное произведение в этом базисе можно записать в матричной форме:

(x,y) = x1 y1 + x2 y2 + … xn yn = (x1 x2  …  xn) ·       y1 y2 … yn       = XT · Y,

где X^T — матрица–строка, получаемая из столбца X с помощью операции транспонирования.