Элементы множества.Основные понятия. Примеры множеств

 

Множество. Элемент множества. Конечное множество.

Пустое множество. Бесконечное множество. Счётное множество.

Несчётное множество. Выпуклое множество. Способы задания множеств.

 

Множество и элемент множества относятся к числу первичных понятий, для которых не существует определений в строгом смысле слова. Поэтому обычно говорят о множестве как о наборе предметов ( элементов множества ), наделённых определёнными общими свойствами. Множество книг в библиотеке, множество автомобилей на стоянке, множество звёзд на небосводе, растительный и животный мир Земли – всё это примеры множеств.

 

Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество учеников в школе и т.д.

 

Пустое множество (   ) не содержит ни одного элемента, например, множество крылатых слонов, множество корней уравнения  sin x = 2  и т.д.

 

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Примеры: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов воВселенной и т.д.

 

Счётное множество – множество, элементы которого можно пронумеровать. Например, множества натуральных, чётных, нечётных чисел. Счётное множество может быть конечным ( множество книг в библиотеке ) илибесконечным ( множество целых чисел, его элементы можно пронумеровать следующим образом:

 

элементы множества:    …, –5,   – 4,   –3,   –2,   –1,   0,   1,   2,   3,   4,   5, …

 

номера элементов:           ...   11       9      7      5      3    1    2    4    6    8   10 ...  ) .

 

Несчётное множество – множество, элементы которого невозможно пронумеровать. Например, множество действительных чисел. Несчётное множество может быть только бесконечным ( продумайте, почему ? ).

 

Выпуклое  множество – множество, которое наряду с любыми двумя точками А и В содержит также весь отрезок  АВ. Примеры выпуклых множеств: прямая, плоскость, круг. Однако, окружность не является выпуклым множеством.

 

Способы задания множеств. Множество может быть задано следующим образом:

 

– перечислением всех его элементов по их названиям ( так описываются множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, алфавит любого языка и т.д.);

 

– заданием общей характеристики ( общих свойств ) элементов данного множества ( например, множество рациональных чисел, собаки, семейство кошачих и т.д.);

 

– формальным законом построения элементов множества ( например, формула общего члена числовой последовательности, Периодическая система элементов Менделеева и т.д.).

Операции над множествами

Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества множеств

называется множество,состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А,В.

Объединение множеств обозначается  На диаграмме Эйлера-Венна объединение двух множеств выглядит так 

Пример:

Если С=N, A={1,9,13}, B={9,16}, то А+В={1,9,13,16}

Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств

называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Пересечение множеств обозначается На диаграмме Эйлера-Венна пересечение двух множеств выглядит так 

Пример:

Если А={1,2,9}, B={0,1}, то АВ={1}.

Разностью между множеством В и множеством А

называется множество всех элементов из В , не являющихся элементами из А .

Разность двух множеств обозначается A\B На диаграмме Эйлера-Венна разность двух множеств множеств выглядит так 

Пример:

Разностью множества четных чисел и множества чисел, кратных 3, является множество четных чисел, не делящихся на 6.Оно является объединением множества четных чисел, дающих при делении на 6 остаток 2, и множества четных чисел, дающие при делении на 6 остаток 4.

Дополнением множества А в В

называется разность А\В, если В является подмножеством множества А.

Дополнение множества обозначается СА. На диаграмме Эйлера-Венна дополнение множества А выглядит так