4. Последовательности комплексных чисел.

Опр. Число а наз-ся пределом последовательности компл. чисел е сли n z_n-a

Опр.Последовательность компл. чисел {z_n} сходится в бесконечности, если limz_n= при n ,то есть R n z_nR

5. Предел последовательности комплексных чисел.

Комплексное число называется пределом последовательности комплексных чисел , , , , , если для , , что для .

Обозначение .

Теорема.

Если последовательность комплексных чисел , сходится к комплексному числу , то сходятся действительные последовательности , , , и наоборот.

Доказательство.

1. для

, ,

.

Но и

;

Первая часть теоремы доказана.

2. Дано: ,

Значит, для любого , что для и , что .

Ho , если , т.е. . Что и требовалось доказать.

6.Понятие функции комплексной переменной.

Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости. Напомним, что областью на плоскости мы называем любое открытое связное множество точек этой плоскости. Область односвязна, если любая подобласть, ограниченная непрерывной замкнутой самонепересекающейся кривой, лежащей в этой области, целиком принадлежит области.

Рассмотрим две плоскости комплексных чисел: и . Пусть в плоскости С задана область D и задано правило, ставящее в соответствие каждой точке определённое комплексное число . В этом случае говорят, что на области D определена однозначная функция (или определено отображение ). Область D называется областью определения функции, множество - множеством значений функции (или образом области D при отображении f.

Если каждому ставится в соответствие несколько значений ( т.е. точка z имеет несколько образов), то функция называется многозначной.

Функция называется однолистной в области , если она взаимно однозначно отображает область D на область (т.е. каждая точка имеет единственный образ , и обратно, каждая точка имеет единственный прообраз .

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной. Так как , то зависимость можно записать в виде . Таким образом, задание комплекснозначной функции комплексной переменной z равносильно заданию двух действительных функций двух действительных переменных х,у.

7.Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

Определение. Пусть функция определена в проколотой окрестности точки . Комплексное число называется пределом функции при , если для любой -окрестности точки ( >0) найдётся такая проколотая -окрестность точки , что для всех значения принадлежат . Другими словами, если - собственная точка плоскости, то для любого >0 должно существовать такое >0, что из неравенства следует неравенство (аналогично расписывается определение для несобственной точки ). Таким образом, на языке - определение предела ФКП полностью совпадает с определением предела функции одной действительной переменной; обозначается предел, как обычно: .

Неравенство означает, что , или . Для модуля комплексных чисел справедливы все основные свойства абсолютной величины, в частности , поэтому Отсюда легко получить, что . Таким образом, существование предела функции комплексной переменной равносильно существованию пределов двух действительных функций двух действительных переменных. Поэтому в комплексный анализ автоматически переносятся все теоремы о пределах функции в точке (предел суммы функций и т.д.). Так же можно доказать, что если , то (для существования нулевого предела достаточно, чтобы ).

Непрерывность ФКП. Пусть функция определена в окрестности точки . Функция называется непрерывной в точке , если:

1. существует ;

2. .

Как и в случае предела, можно показать, что будет непрерывной в точке тогда и только тогда, когда функции и непрерывны в точке , поэтому на ФКП переносятся все основные теоремы о непрерывности функций.