2.3. Примеры для самоконтроля
Найти псевдообратную матрицу:
3.Жорданова нормальная форма матрицы
3.1. Вопросы по теории
Собственные значения и их кратность
-матрица
Каноническая форма -матрицы
Жорданова форма и жорданова клетка
3.2 Примеры решения задач
1.Пусть дана матрица А=
.
Построим ее характеристический многочлен.
=-(
)3.
Он имеет одно собственное занчение = 1 кратности к = 3.
Найдем rang (A- E).
~
.
Тогда ранг равен 2.
Число клеток Жордана l(1)=n – rang(A-E) = 3 - 2 = 1.
В этом случае Жорданова матрица имеет вид:
2. Рассмотрим теперь матрицу B=
.
Построим ее характеристический многочлен.
=
-
3
+ 7
2
- 16
+ 12=(
- 3) (
- 2)2
Он имеет собственные занчения 1 = 3 кратности к = 1 и 2 = 2 кратности к = 2.
Найдем r = rang (B- 1E)=rang(B-3E)=.2
l(3) = n – r=1.
Таким образом, число клеток Жордана, отвечающих собственному значению 1 равно 1.
Аналогично l(2) = 1.
Тогда возможны два варианта:
клетка первого порядка, отвечающая собственному занчению 1 и второго - 2;
клетка второго порядка, отвечающая собственному занчению 1 и первого - 2.
l1(3) = rang(B – 3E)2-2(B-3E)+(B-3E)0 = 1 – число клеток жордана порядка 1 с элементом 1 на главной диагонали. При этом (B-3E)0 = E.
Тогда, согласно первому случаю, Жорданова матрица будет иметь вид:
.
3.3 Примеры для самоконтроля
Построить Жорданову нормальную форму:
4.Функции от матриц
4.1.Вопросы теории
Определение функции от матрицы
Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
Свойства функции от матрицы
4.2. Примеры решения задач
1. Вычислим функцию f(A),
где f(
)
= e
и матрица A=
.
Вычислим собственные значения.
|A-
E|
= 0;
=0;
(4 - )(3 - ) - 2 = 0
1=5, 2=2.
Следовательно, минимальным многочленом матрицы А будет ( - 5) ( - 2).
Тогда интерполяционный многочлен
Лагранжа r имеет вид
r(
)=
f(5)+
f(2).
Как мы знаем, f(A)
= r(A) .
Таким образом
f(A) = eA=
2. Вычислим функцию f(A),
где f(
)
=ln
и матрица A=
.
Вычислим ее собственные значения.
|A-
E|
= 0;
=0;
(1 - )(3 - ) +1 = 0; ( -2)2=0.
=2.
Rang A = 2, тогда минимальный многочлен совпадает с характеристическим и
следовательно интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра имеет вид
r(
)=
;
r(2)=
=f(2)=ln2;
r `(2)=
=f
`(2) =
.
Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра равен
r( )=ln2+ ( -2).
r(A)=ln2+
(A-2)=ln2+
