7. Критерий обратимости линейного оператора. Примеры обратимых и необратимых операторов.

Критерий: Оператор обратим тогда и только тогда, когда А действует взаимно однозначно вVn

Примеры (док-во достаточности):

1) Пусть оператор А действует взаимно однозначно вVn. Тогда согласно критерию обратимостидля каждого yVn существует элементx, такой, чтоy=AX. Таким образом, каждому элементуyставится в соответствие элементxт.е. определен оператор В: х=By, причемy=Ax=A(By)=(AB)y для любого. Отсюда согласно определению равенства операторов получимAB=I. Аналогично подставляя получаемx=By=B(Ax)=(BA)x для любого. СледоватльноBA=I7 Из этого следует, что оператор А обратим.

8. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.

Пусть в линейном пространстве Vn задан линейный оператор А и два базисаe иe’. Обозначим: Т – матрица перехода от базиса е к базису е’, аAe иAe’­– матрицы оператора А в базисах e иe’.

Тогда, записывая равенство y=Ax для произвольного х в матричном виде в базиса[e] и[e’] получаем:[y]=Ae[x], [y’]=Ae’[x’], гдеx иx’ координатные столбцы одного и того же вектора х соответственно в соответствующих базисах. Из последнего равенства получимT[y’]=[y]=Ae[x]=AeT[x’], откуда[y’]=.

Так как [y’]=Ae’[x’], тоAe[x']=. Из этого равенства, так как х – произвольный, имеемAe’=- формулу изменения матрицы при переходе из одного базиса в другой.

9. Определитель и характеристический многочлен линейного оператора, их инвариантность по отношению к преобразованиям базиса.

Многочлен – называетсяхарактеристическим многочленом оператора А. Уравнение– харктерестическим уравнением.

Теорема об инвариантности: Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора ба­зиса (одинаков для всех базисов).Док-во: Пусть в пространстве Kn дан линейный оператори даны два базиса (u) и (v). Пусть также C − матрица перехода от первого базиса ко второму. Соответственно матрицы нашего линейного оператора в этих двух базисах обозначим A =и B =. Тогда det (B − λE) = det (C−1AC − C−1(λE)C) = det (C−1(A − λE)C) = det C−1det (A − λE)det C = det (A − λE), чтд.

10. Ядро и образ линейного оператора. Теорема о сумме размерностей ядра и образа. Нахождение ядра и образа линейного оператора в фиксированном базисе. Ранг и дефект линейного оператора.

Ядром ЛОA называется мн-во всех элементов Х пространстваV для которыхA=0 (kerA).

Образом оператора называется множество всех векторовyтаких, что у=Ax, xX. (ImA)

Теорема: Пусть А – произвольный линейный оператор, действующий вn-мерном пространствеVn, т.e. A. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора А равна размерности всего пространства, т.е.dim(ImA)+dim(KerA)=n

Нахождение ядра и образа: Ядро - это подпространство, которое составят те вектора, которые оператором отсылаются в 0. Суть решения сводится к решению СЛАУ: Ax = 0, находятся ее фундаментальные наборы решений. Они и будут коэффициентами разложения x = k1*e1 + .+ kn*en, где e1 ...en - базисные вектора. 

Образ – Необходимо привести к ступенчетому виду матрицу . Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом пространстваImA, а число его строк – размерность.

Размерность подпространства ImA называетсярангомоператораA (RangA=dim(ImA))

Размерность подпространства KerA называетсядефектомоператора А.

11. Теорема инвариантности ядра и образа ло а относительно перестановочного с ним ло в

Образ ImA и ядроKerA оператораAявляются инвариантными подпространствами.

Док-во: В самом деле, еслиx, то в силу определения образа иAx. Далее, еслиx, то иAx=Zчтд

12. Собственные значения (числа) и собственные векторы линейного оператора. Спектр ЛО. Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов. Свойства собственных векторов линейного оператора.

Ненулевой вектор называетсясобственным векторомлинейного оператора f:Vn -> Vn, если существуетλ(λдля комплексного Vn), такое, что

Число λ называется собственным числом(собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

Собственные числа λлинейного оператора f:Vn -> Vn- корни характеристического уравнения, гдеaij – матрица оператора f, а-символ Кронекера.

Спектром ЛО называется множество всех его собственных значений.