1.2. Алгебраические критерии устойчивости

Устойчивость представляет собой способность системы автоматического регулирования возвращаться к исходному состоянию после кратковременного внешнего воздействия. Системы автоматического регулирования, как правило, должны быть устойчивыми.

Так же, как и в случае линейных звеньев, необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы автоматического регулирования является отрицательность вещественных частей всех корней ее характеристического уравнения. Последнее может быть получено из передаточной функции замкнутой системы, связывающей любые ее вход и выход, путем приравнивания нулю знаменателя передаточной функции.

Попытки анализа устойчивости линейных систем автоматического регулирования путем прямого отыскания корней характеристического уравнения наталкиваются на практические трудности, связанные с отсутствием аналитических выражений для корней уравнений степени выше четвертой; для уравнений третьего и четвертого порядков имеющиеся выражения мало удобны. Однако нет необходимости находить значения корней, поскольку для суждения об устойчивости системы нужно знать лишь, что все они расположены левее мнимой оси на плоскости комплексного переменного р. В теории автоматического регулирования пользуются условиями, которые позволяют судить о расположении корней в левой полуплоскости без нахождения их значений; эти условия называются критериями устойчивости.

Существует несколько критериев устойчивости. Все они математически эквивалентны, так как решают вопрос — лежат ли все корни характеристического уравнения в левой полуплоскости или нет. Практическое применение того или иного критерия определяется характером задачи и средствами, которыми располагает исследователь.

Существующие критерии устойчивости делятся на две группы: алгебраические и частотные критерии.

Критерий Рауса. Этот критерий был разработан английским математиком Э. Раусом в 1877 г. Предположим, что посредством использования правил преобразования структурных схем, найдена передаточная функция замкнутой автоматической системы в виде

(12)

Характеристическое уравнение имеет вид

. (13)

Составим таблицу, которая называется таблицей Рауса (табл. 1).

Таблица 1

Таблица Рауса

Коэффициенты	Строка i	Столбец
		1	2	i		n
–	1
–	2
	3
	4
	i
	n

Алгоритм составления таблицы Рауса очевиден. Сформулируем критерий устойчивости.

Для того чтобы автоматическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для всех коэффициентов r_i было выполнено условие

r_i  0, i =3,4,…, (14)

или, что эквивалентно,

c_1i  0, (a₀  0). (15)

Если хотя бы один из коэффициентов (15) отрицателен, то система неустойчива.

Обращение в нуль одного из этих коэффициентов свидетельствует о неустойчивости системы или о том, что она находится на границе устойчивости. Число отрицательных коэффициентов c_1i равно числу правых полюсов. Обращение промежуточного коэффициента в нуль свидетельствует о появлении пары чисто мнимых корней.

Для упрощения расчетов элементы строк можно делить или умножать на положительную величину.

Если в процессе вычислений появляется отрицательный коэффициент в таблице Рауса, то это свидетельствует о неустойчивости системы и дальнейшие расчеты проводить не следует.

Число перемен знака коэффициентов r_i , i = 3,4,... равно числу корней характеристического уравнения (13), расположенных в правой полуплоскости комплексной плоскости.

Таблица, реализующая алгоритм Рауса, удобна для программирования на ЭВМ, поэтому с помощью этого метода можно исследовать на устойчивость системы высокого порядка. Более того, можно исследовать влияние на устойчивость системы отдельных ее параметров.

Критерий Гурвица. Этот критерий предложен немецким математиком Гурвицем в 1895 г. Если известно характеристическое уравнение системы (12), то легко записать матрицу Гурвица:

(16)

Пример 1. Если характеристическое уравнение имеет вид

то матрица Гурвица запишется так:

.

■

При составлении матрицы Гурвица первая строка заполняется коэффициентами характеристического уравнения с нечетными индексами, а вторая – с четными. Дальнейшие пары строк получаются смещением вправо первой пары на один, два и т.д. столбцов. Все коэффициенты с индексами, большими степени, заменяются нулями.

Определитель матрицы Гурвица (16) называется главным определителем Гурвица. Он имеет вид

(17)

Из (16) получим определители Гурвица низшего порядка:

₁=a₁,

(18)

и т.д.

Критерий Гурвица формулируется так:

Для того чтобы замкнутая автоматическая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при a₀> 0 все определители Гурвица были положительны, т.е.

₁  0, ₂  0, ₃  0, …, _n–1  0, _n=a_n_n–1  0. (19)

Пример 2. Пользуясь критерием Гурвица, получим условия устойчивости для систем, порядок характеристических уравнений которых не превышает четырех.

Если характеристическое уравнение имеет первый порядок

A(p) = a₀p + a_l =0,

то условия устойчивости имеют вид

а₀ > 0, a₁ > 0.

Для уравнения второго порядка

A(p) = a₀p² +a₁p + a₂ =0

условиями устойчивости являются:

a₀ > 0, a₁ > 0, а₁а₂ >0.

Для уравнения третьего порядка

A(p) = a₀p³ + a₁p² + a₂p + a₃ = 0

имеем

Отсюда следуют условия:

а₀ > 0, а₁ > 0, а₂ > 0, а₃ > 0, а₁а₂ – а₀а₃ > 0.

И, наконец, если имеется характеристическое уравнение четвертого порядка

A(p) = a₀p⁴ + a_lp³ + a₂p² + a₃p + a₄ = 0,

то определитель Гурвица запишется так

Необходимым и достаточным условием устойчивости является

■

Практически, поскольку а_n > 0, находят определители Гурвица от ₁ до _n–1. Например, для последнего случая имеем:

Система находится на границе устойчивости, если все определители Гурвица низшего порядка положительны, а главный определитель равен нулю, т.е. ₁ > 0, ₂>0,..., _n = а_n _n–1= 0 .

Если а_n = 0, a _n–1 > 0, то один из корней характеристического уравнения равен нулю (система находится на границе апериодической устойчивости), если же a_n  0, a _n–1 = 0, то система находится на границе колебательной устойчивости (два комплексно-сопряженных корня находятся на мнимой оси).

Из вышесказанного следует, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы, характеристическое уравнение которой имеет первую или вторую степень, является положительность всех коэффициентов этого уравнения.

Пример 3. Характеристическое уравнение имеет вид:

Все коэффициенты характеристического уравнения положительны. Найдем ₃:

Вывод: система неустойчива.

■