Связь коэффициента детерминации с коэффициентом корреляции эндогенной переменной и её оценки.
Коэффициент
детерминации равен квадрату модуля
коэффициента корреляции прогноза 
и 
.
Он показывает, какая доля дисперсии
результативного признака объясняется
влиянием независимых переменных.
Док-во:
При условии, что
(для парной регрессии)
Так
;
;
и с использованием ковариационных
правил, можно доказать, что
(для множественной регрессии аналогично)
F-тест качества спецификации эконометрической модели.
Рассмотрим модель:
(1)
Статистикой
критерия гипотезы
(2) против альтернативы 
служит случайная переменная 
(3)
Здесь
– коэффициент детерминации (объясненная
регрессорами в рамках обучающей выборки
доля эмпирической дисперсии эндогенной
переменной 
);
k
– количество регрессоров в модели (1);
n
– объем обучающей выборки 
,
по которой оценена МНК-модель (1).
Если
гипотеза (2) справедлива, а случайный
остаток u
в модели (1) обладает нормальным законом
распределения, случайная переменная
(3) имеет распределение Фишера (см.
в конце)
с количествами степеней свободы 
и 
,
где 
(4)
Этапы:
Вычислить величину (3);
Задаться уровнем значимости
и при помощи функции FРАСПОБР
Exel
при количествах степеней свободы (4)
отыскать 
-квантиль
распределения Фишера 
;Проверить справедливость неравенства
(5)
Если оно справедливо, то гипотеза (2)принимается и можно сделать вывод о неудовлетворительном качестве регрессии, т.е. об отсутствии какой-либо объясняющей способности регрессоров в рамках модели (1).
Если неравенство (5) несправедливо гипотеза (2) отклоняется в пользу альтернативы . Это значит, что качество регрессии удовлетворительное, т.е. регрессоры в рамках линейной модели (1) обладают способностью объяснять значения эндогенной переменной y.
Закон распределения Фишера (F-распределение):
где 
- стандартное обозначение для гамма-функции
Эйлера.
Процедура интервального прогнозирования по оценённой линейной эконометрической модели значений эндогенной переменной (на примере модели Оукена).
Для
построения интервально прогноза запишем
дробь 
(1), имеющую смысл
нормированной ошибки прогноза.
Если случайный остаток в регрессионной
модели не имеет автокорреляции и
нормально распределен, то дробь (1)
распределена по закону Стьюдента с
числом степеней свободы 
,
где 
— количество оцениваемых коэффициентов
модели.
Это
позволяет построить замкнутый промежуток
,
где: 
,
(2) именуемый
доверительным
интервалом,
который накрывает прогнозируемое
значение 
с принятой доверительной вероятностью
.
— это критическое значение модуля
дроби Стьюдента (двусторонняя
-квантиль
распределения Стьюдента), которую можно
рассчитывать по величинам 
,
при
помощи функции СТЬЮДРАСПОБР.
Модель Оукена:
(1)
В обучающую выборку включим наблюдения за 1997 -2002 года; в контролирующую – наблюдения 2003 года.
Оцененная модель:
(2)
Оценки
модели вычисляются с помощью функции
ЛИНЕЙН(
;
;1;1).
;
Вычислим при помощи оцененной модели (2) по значению
прогноз величины 
:
.
Далее определим стандартную ошибку прогноза:
,
где 
.
Так как модель Оукена – это модель
парной регрессии, тo
можно вычислить по формуле:
При
доверительной вероятности
и числе степеней свободы
при помощи функции СТЬЮДРАСПОБР находим
и вычисляем границы доверительного
интервала: 