Упорядкованість множини додатних раціональних чисел

Якщо раціональні числа представлені рівними дробами, то вони рівні. Означення: Нехай а і b – додатні раціональні числа. Тоді а < b, якщо існує таке додатне раціональне число с, що а + с =b.

Для того, щоб різниця додатних раціональних чисел а і b існувала, необхідно і достатньо, щоб b<a.

В множині додатних раціональних чисел:

1) немає найменшого числа;

2) між будь-якими двома різними додатними раціональними числами існує нескінченно багато чисел цієї множини

Білет 13

Додавання

Означення. Сумою двох (або кількох) дробових чисел з однакови­ми знаменниками є дробове число, чисельником якого є сума їх чисель­ників, а знаменником — їх спільний знаменник:

Означення. Сумою невід’ємних раціональних чисел і називається число тобто:

Означення. Сума натурального і дробового чисел, записаних поряд без знака додавання, називається мішаним числом.

Віднімання

_{Означення.} Відняти від раціонального числа число , або знайти різницю означає знайти таке число щоб задовольнялась умова

Закони додавання дод.рац. чисел:

1. Закон існування: сума невід’ємних раціональних чисел завжди існує і є число невід’ємне і раціональне.

2) Переставний закон:

Доведення.

2. 

3) Сполучний закон:

Доведення.

3. 

Білет 14

Множення

Означення. Добутком дробового числа на натуральне число п > 1 називається сума п доданків, кожний з яких є .

Означення. Добутком невід’ємних раціональних чисел, поданих у вигляді дробів і , називається число, зображене дробом, чисельником якого є добуток чисельників даних дробів, а знаменником — добуток знаменників:

Означення. Два числа, добуток яких дорівнює 1, називаються взаємно оберненими.

Ділення

Правило. Щоб поділити одне число, виражене дробом, на друге, треба чисельник першого дробу помножити на знаменник другого дробу і добутий результат взяти чисельником, а знаменник першого дробу помножити на чисельник другого дробу і одержаний результат взяти знаменником частки, або інакше, треба помножити на число, обернене дільнику:

Закони множення

1) Існування і єдиність добутку: які б не були невід’ємні раціональні числа , , завжди існує невід’ємне раціональне число · , що є їх добутком, і до того ж єдине.

2) Комутативний (переставний) закон: від зміни місць співмножників значення добутку не змінюється:

3) Асоціативний (сполучний) закон: окремі співмножни­ки можна сполучати в будь-які групи, а потім перемножати. Від цього значення добутку не зміниться:

4) Монотонність множення:

5) Дистрибутивний (розподільний) закон відносно до­давання і віднімання:

Білет 15

Запис додатних раціональних чисел у вигляді десяткових дробів

Означення. Десятковим дробом називається дріб, знаменником якого є , де п Є N, і який записано в позиційній десятковій системі числення так: записано чисельник і в ньому справа наліво відділено п цифр (десяткових знаків).

Якщо число цифр чисельника не більше від показника п (тобто не більше, ніж кількість нулів у степені десяти, що є знаменни­ком), то зліва дописують необхідну кількість нулів.

Наприклад. і т. д.

Основна властивість десяткового дробу:

дописування нулів справа дробової частини запису десяткового дробу не змінює його значення.