Глава 1. Расчет статически определимых

конструкций

Основные сведения

Статически определимые конструкции (балки, рамы, фермы и т.д.)-конструкции, степень свободы которых равна нулю. Это означает, что внутренние усилия в таких конструкциях определяются из уравнений статического равновесия. На практике чаше всего строительная конструкция является составной, т.е. конструкция составлена из отдельных элементов, соединенных между собой либо шарнирно, либо жестко. В статически определимых конструкциях соединение происходит, как правило, шарнирно.

Первым этапом расчета является определение усилий в опорных связях, т. е. реакций опор.

Используются три подхода:

а) использование свойств шарнира, соединяющего элементы, – изгибающий момент в шарнире равен нулю;

б) расчленение составной системы на ее отдельные элементы. Расчленение производится по шарнирам, соединяющим элементы (диски);

в) расчленение составной системы на ее отдельные элементы с последующим построением «этажной схемы».

Рассмотрим последовательно все эти подходы.

1. 1. Расчет двухдисковых конструкций

Два диска (прямой стержень-балка; ломаный стержень-рама; криволинейный стержень, геометрически неизменяемая ферма) соединяются между собой шарнирно.

Пример 1. Двухдисковая балка (рис. 1).

1) Определение опорных реакций

У данной балки в опоре А возникают 3 опорные реакции: M_A; R_A; H_A и в опоре С одна реакция – R_С.

Рассмотрим все три приема определения опорных реакций.

А. Использование свойств шарнира В. Изгибающий момент в шарнире В правых сил запишется:

,

откуда .

Остальные опорные реакции определяются из 3-х уравнений статики.

1. ; .

2. ; ; .

3. ; ; .

Знак минус указывает, что направлением М_А мы ошиблись.

Б. Расчленение (разбиение) составной системы на отдельные элементы.

Рассечем по шарниру В нашу конструкцию и рассмотрим по отдельности оба элемента: балку АВ (рис. 2) и балку ВС (рис. 3).

Напоминаем, что в месте разреза (в шарнире В) возникает два неизвестных усилия R_B и Н_B (рис. 2 и 3). Обратите внимание на направления этих усилий – они противоположно направлены.

Конструкция в целом была в равновесии, значит, и после рассечения каждый элемент находится в равновесии.

Для каждого из них справедливы уравнения статики.

Элемент АВ.

1. ; .

2. ; .

3. ; .

Из этих уравнений ни одно усилие не определяется.

Элемент ВС.

1. ; .

2. ; .

3. ; .

Из последнего уравнения определяется , из второго - .

Найденные реактивные усилия подставим в уравнения элемента АВ и найдем:

; ; .

Сразу оговоримся: если ни одна из групп уравнений не определяет

величины опорных реакций, то решаются совместно все полученные уравнения (в этом мы убедимся позже).

В. Расчленение системы и построение этажной схемы.

В этом случае следует выделить «основную» конструкцию после расчленения системы. В нашем примере «основной» конструкцией (балкой) будет балка А – В, поскольку данная балка остается геометрически неизменяемой и неподвижной. Оставшаяся конструкция (балка ВС) в сечении В как бы опирается (может и подвешиваться) на балку АВ (рис. 4 б). Тогда по принципу этажа - нагрузка верхних этажей передается на нижние (но не наоборот) определяем очередность расчета балок (элементов). В нашем примере первой расчетной балкой будет балка ВС. Второй будет рассчитываться балка АВ, но реакции балки ВС в опоре В будут приложены к балке АВ противоположного направления (рис. 4 в).

Определение этих реакций мы доверяем читателю. Забегая вперед, скажем, что они будут такими же, что и в первых двух случаях.

2. Построение графиков изменения внутренних усилий (эпюр)

Если опорные реакции известны, то построение графиков изменения внутренних усилий (эпюр M, Q, N) можем производить для конструкции в целом (забегая вперед, скажем, что для многодисковых конструкций это может оказаться затруднительно) или для каждого элемента в отдельности, а потом состыкуем для конструкции в целом.

Для нашей простой балки проделаем построение эпюр двумя приемами:

а) для конструкции в целом:

Эпюра Q.

Напоминаем основные правила изменения перерезывающей силы (и их нужно помнить всегда!):

- на участке, свободном от нагружения, Q - величина постоянная;

- на участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, величина Q меняется по линейному закону вида ;

- в точке приложения сосредоточенной силы, в том числе и опорной реакции, на эпюре Q наблюдается скачок (ступенька) на величину этой силы.

Знание этих правил дает право наметить сечения на конструкции и определить в этих сечениях величину перерезывающей силы.

Сечения: точка (опора) А; точка В (шарнир); опора С.

Начать построение можем справа или слева. Выбираем справа.

Сечение бесконечно близко от опоры С.

, т. е. .

Знак минус взят согласно правила знаков (рис. 5).

Сечение в шарнире В.

.

Сечение в опоре А бесконечно близко справа

.

Здесь мы брали сумму проекций на ось, перпендикулярную оси стержня всех сил, находящихся справа от сечения.

График изменения перерезывающей силы показан на рисунке 6 б.

Эпюра М.

Для построения эпюры моментов необходимо помнить основные правила:

- изгибающий момент в шарнире равен нулю (!);

- на незагруженном участке момент меняется по линейному закону;

- на участке, загруженном равномерно распределенной нагрузкой, момент меняется по квадратной параболе. Кривую на графике строят по пяти точкам, но допускается для выявления характера изменения кривой строить график по трем точкам: в начале участка, в середине и в конце участка. Нужно еще помнить, что вогнутость кривой совпадает с направлением нагрузки (рис. 6 в);

- в точке приложения сосредоточенной силы график изменения изгибающего момента (эпюра М) претерпевает излом (рис.7, точка К);

- в месте приложения сосредоточенного изгибающего момента на эпюре М наблюдается скачок на величину этого момента (опора А и опора С, рис. 6). Следует отметить, что момент направляется от растянутых волокон.

Обходом справа намечаем характерные сечения: точка С бесконечно близка слева; шарнир В; сечение D и опора А.

.

.

.

.

Знак минус говорит о том, что положение растянутых волокон определяют силы, входящие в уравнение со знаком минус, т. е. сосредоточенный момент и равномерно распределенная нагрузка.

График изменения изгибающего момента показан на рисунке 6 в.

б) построение эпюр внутренних усилий по элементам, составляющим конструкцию (балку).

Рассмотрим вначале балку ВС (рис. 3).

Для нее строим эпюру Q .

По длине балки отсутствует нагрузка и поэтому величина перерезывающей силы будет постоянной по ее пролету:

Q_В = R_В = - 2 кН. График показан на рисунке 7а.

Эпюра изгибающих моментов строится по ее значениям в начале балки (сечение В) и в конце балки (сечение С):

М_В = 0; М_С = 6 кНм (значение момента в сечении С соответствует значению опорного момента). Эпюра М показана на рисунке 7б.

Затем строим эпюры внутренних усилий для балки АВ (рис.2).

По длине балка загружена равномерно распределенной нагрузкой и поэтому подсчитаем величину перерезывающей силы в двух сечениях: сечение у опоры А и сечение у точки В.

Q_A = R_A = 6кН;

.

Эпюра перерезывающей силы для этой балки показана на рисунке 8а.

Эпюра изгибающих моментов для балки загруженной равномерно распределенной нагрузкой строим по значениям, полученным в сечениях: сечение А, сечение К (середина пролета балки), сечение D, сечение В:

М_В = 0;

;

;

.

Эпюра изгибающих моментов для балки АВ приведена на рисунке 8б.

Окончательные эпюры внутренних усилий строится путем состыковки эпюр отдельных элементов. Они соответствуют эпюрам, показанным на рисунке 6.

Пример 2. Предлагается самостоятельно решить задачу (рис. 9) и свои результаты сравнить с приведенными на рисунке 9 эпюрами.

Пример 3. Рассмотрим двухдисковую конструкцию, состоящую из двух рам (трехшарнирная рама) (рис.10).

Определение опорных реакций для данной конструкции возможно только двумя первыми приемами.

1. Использование свойств шарнира.

; .

; .

; .

; ,

Видим, что ни одно из уравнений не дает решения.

Решаем систему из 4 уравнений с 4 неизвестными:

.

Решение системы уравнений дает

кн; кн;

кн; кн.

Знак минус, как мы уже отмечали, указывает, что направление реакции Н₁ нами выбрано ошибочно и для построения внутренних усилий (эпюры М,Q,,N, ) ее направление нужно поменять на обратное.

2. Расчленение конструкции (рис 11 а, б).

Составляем уравнения статики для каждого диска:

; ;

. .

; ;

. .

; ;

. .

Получили 6 неизвестных и 6 уравнений:

Решение системы уравнений дает:

кн; кн;

кн; кн;

кн; кн.

Сравнивая полученные результаты двумя приемами, видим, что они практически одинаковы.

Построение эпюр внутренних усилий проведем для каждого элемента.

1 диск (рис. 12).

Разница моментов во втором узле – результат погрешности вычислений.

2 диск (рис. 13).

(кнм).

(кнм).

(кнм);

(кнм).

Проверка равновесия узла 4 дает (рис. 13 д):

;

; ; .

Можем считать, что узел в равновесии (погрешность составляет 0,014%).

Графики изменения внутренних усилий для конструкции в целом показаны на рисунках 14 а, б, в.

На рисунке 15 приведен пример с ответами для самостоятельной работы (контроля). Проверьте себя!

1.2 Ферма

Напомним. Ферма – конструкция, состоящая из n-го количества, как правило, прямоугольных стержней (дисков), соединенных между собой в определенном порядке в узлах шарнирно. Нагрузка передается только в узлах. Согласно такой расчетной схеме в стержнях фермы возникают исключительно продольные усилия.

Из общего метода сечения имеем два основных способа определения усилий в стержнях фермы:

1. Способ вырезания узлов.

2. Способ сквозного сечения.

Способ вырезания узлов.

Рассмотрим ферму (рис. 16).

Вырезаем узел круговым сечением, в котором имеется 2 неизвестных усилия, поскольку для сходящейся системы сил мы имеем 2 уравнения статики. Первым таким узлом будет узел 4.

Узел 4 (рис. 17а). Усилия направляем всегда от узла.

;

.

;

.

Из геометрии фермы следует:

; .

(Значения и найдены из прямоугольного треугольника с узлами 3 – 4 – 5).