2. Однополосный гиперболоид.
Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
(3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными
плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения
и
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными
координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется
уравнениями
или
(4)
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с
полуосями
и
,
достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного
гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с
полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании
величины a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный
гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере
удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.
3. Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
(5)
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его
сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно
уравнения
и
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными
координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется
уравнениями
или
(6)
из
которых следует, что при
>c
(c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид
по эллипсу с полуосями
и
.
При
увеличении
величины a* и b* тоже увеличиваются.
При
уравнениям
(6)
удовлетворяют координаты только двух
точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости
касаются данной поверхности).
При
уравнения (6)
определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным
гиперболоидом не существует.
Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
4. Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
(7)
где p>0 и q>0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.
Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz.
Получаем соответственно уравнения
и
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные
относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными
координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется
уравнениями
или
(8)
из
которых следует, что при
плоскость
z=h пересекает эллиптический параболоид
по эллипсу с полуосями
и
.
При увеличении h
величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку
(плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8)
определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным
гиперболоидом нет.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический
параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.
Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е.
эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную
вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).