Элементы потока

    Площадь живого сечения - площадь плоского поперечного сечения нормального к направлению движения.

Смоченный периметр - часть периметра, на котором поток соприкасается с твердыми стенками.

`Гидравлический радиус – отношение площади живого сечения к смоченному периметру

R =  / 

`Для круглого сечения R =  r² / (2  r) = r / 2 = d / 4.

Расход жидкости и средняя скорость

Расходом называется количество жидкости, проходящее через данное сечение в единицу времени dQ = dW / dt = d dS / dt = u d

Q = v 

Расход равен объему эпюры скорости.

Уравнение неразрывности

    Учитывая, что

1. проникновение жидкости через боковую поверхность невозможно (т.к. поверхность образована линиями тока)

2. жидкость несжимаема

3. жидкость является сплошной средой (отсутствуют разрывы) можно записать

u₁d ₁dt = u₂d ₂dt Q = const

u₁/u₂ = d ₂/d ₁ v₁/v₂ =  ₂ /  ₁

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости

    При изучении движения жидкости необходимо рассматривать ряд величин, которые отсутствовали при изучении жидкости, находящейся в состоянии покоя. Это проекции ускорений объемных сил, проекции скорости, гидродинамическое давление и плотность. Основная задача гидродинамики установить зависимость этих переменных от координат и времени.

    Ранее были получены дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Для того, чтобы перейти от них к уравнениям движения согласно принципу Д’ Аламбера необходимо добавить силы инерции. Для элементарного параллелепипеда проекция силы инерции на ось X будет равна  dx dy dz du_x/dt т.е. произведение массы на ускорение. Уравнения равновесия были записаны через единичные массовые силы, поэтому уравнения движения можно представить следующим образом.

    Эти уравнения называются уравнениями Эйлера, а также уравнениями динамического равновесия.

    Данные уравнения справедливы для идеальной жидкости. При рассмотрении реальной жидкости требуется добавить силы вязкости. Полученная таким образом система уравнений носит название уравнений Навье – Стокса.

Интегрирование дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

    Перед тем, как начать интегрирование необходимо сделать ряд преобразований - умножить каждое уравнение соответственно на dx, dy, dz и просуммировать.

    Используя те же соображения, что и при интегрировании дифференциальных уравнений равновесия жидкости

    Учитывая, что

кроме того

Следовательно

    Или окончательно

    Полученное дифференциальное уравнение устанавливает взаимосвязь между силовой функцией, гидродинамическим давлением и скоростью в любом сечении элементарной струйки. Проинтегрировав, имеем .

    Далее рассматривается частный случай, когда на жидкость из объемных сил действует только сила тяжести, следовательно

.

    Данное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

    Если рассмотреть два сечения, то можно записать

По аналогии с гидростатикой можно показать, что два первых слагаемых представляет собой удельную энергию: первое - удельную энергию положения; второе - удельную энергию гидродинамического трения.    Третье - удельную кинетическую энергию.    Сумма трех слагаемых является полной удельной энергией, т.е. напором.

    С физической точки зрения уравнение Бернулли описывает частный случай закона сохранения энергии.

    Геометрический смысл уравнения в том, что напорная плоскость горизонтальна.