1.5. Задачи на проценты

Слово «процент» происходит от латинского pro centum, то есть «на сотню». В словаре Даля находим следующее толкование: «процент – число, означающее доход или плату с сотни». Таким образом, 1 процент означает 1/100, а 1 процент от числа а означает 1/100 долю от этого числа, то есть равен .

Решение задач на проценты, как правило, сводится к решению следующих трех задач.

Задача 1. Найти, сколько процентов одно число (например А) составляет от другого числа (например В).

Решение. Составим пропорцию, исходя из того, что числу В соответствует 100%, а числу А соответствует Х%:

.

Отсюда получаем

.

Задача 2. Найти процент от числа: найти р% от числа В

Решение. Исходя из того, что 100% соответствует число В, а р% соответствует неизвестное число , составим пропорцию: . Отсюда: .

Возможно и другое рассуждение. Один процент от числа В равен , а тогда р% от этого числа равны .

Задача 3. Найти число по его проценту: найти число, если р% его равны А

Решение. Пусть неизвестное число равно Х. Тогда р% от Х равны . По условию . Отсюда .

158. В n-ом году в Ярославле было зафиксировано 2 509 преступлений экономической направленности, из них – 1 334 преступления против собственности. Сколько процентов составляют преступления против собственности от общего числа преступлений экономической направленности.

159. В n-ом году в Ярославской области было осуждено 2 072 человека, не достигших совершеннолетия. Из них за кражи – 1 392 человека. Сколько процентов несовершеннолетних осуждено не за кражи?

160. С января по июль 2000 года в Ярославле было зарегистрировано 574 преступления, связанных с незаконным оборотом наркотиков, из них тяжкие и особо тяжкие составляют 40,4 %. Найдите число тяжких и особо тяжких преступлений, совершенных за данный период.

161. В США в 1960 году было зарегистрировано 2 014 600 преступлений. Найдите число преступлений, зарегистрированных в 1990 году, если известно, что они составляют 718,5 % по отношению к 1960 году.

162. В n-ом году в Ярославской области было зарегистрировано 2 087 грабежей, что составляет примерно 5,615 % от общего числа зарегистрированных преступлений. Найдите число зарегистрированных преступлений.

163. После повышения на 20% зарплата стала составлять 4200 рублей. Какой была зарплата до повышения?

164. Контингент учащихся школы за последний год сократился на 5% и стал составлять 2 090 человек. Сколько учащихся училось в школе до сокращения контингента?

165. Число тяжких преступлений за последний месяц по сравнению с предыдущим выросло на 6% и стало равняться 53. Сколько преступлений было зафиксировано в предыдущий месяц?

166. За день в городе произошло 35 преступлений, 7 из которых – преступления дорожно-транспортные. Какой % преступлений не связан с ДТП?

167. За последний год Дума разработала дополнительно к имеющимся 150 законам еще 20%, а затем сократила число законов на 5%. Сколько законов стало в конце наблюдаемого года?

168. По статистическим данным в n-ом году в Ярославле было зарегистрировано 15 417 преступлений, что составляет 123,4 % по отношению к предыдущему году. Сколько процентов составляют преступления предыдущего года от общего числа преступлений n-ого года?

169. За год в области N совершено 6 720 преступлений. Из них тяжких – 33, в состоянии алкогольного опьянения – 3 262, связанных с дорожно-транспортными происшествиями – 1 310. После завершения следствия переданы в суд 4 520 дел. По 3 816 из них уже вынесены приговоры, причем половина из последних – обвинительные. Из всех обвинительных приговоров приведены в исполнение 40%. Заполните до конца следующую таблицу:

Всего	6720	100%
Тяжких	33
В состоянии алкогольного опьянения	3262
Транспортных	1310
Завершено	4520
Всего приговоров	3816
Обвинительных
Исполнено		40%

170. Налог на прибыль от производства продукции и услуг составляет 35 %. Какой должна быть сумма налогооблагаемой прибыли, чтобы чистая прибыль составляла a рублей?

Решение. Пусть b рублей составляет сумма налогооблагаемой прибыли. Тогда b  0,35 b = a , и b = a = 1 a.

171. Найдите число, зная, что 11 % от него составляют 20 % от 16,5.

172. Цена на товар была повышена на 25 %. На сколько процентов ее надо снизить, чтобы получить первоначальную цену товара?

Решение. Пусть а рублей – первоначальная цена товара, тогда а + 0,25а = 1,25а – цена товара после повышения. Поскольку ее надо снизить на х %, чтобы получить первоначальную цену а, то

. Отсюда (%).

Ответ: 20%

173. Число а больше числа b на 50%. На сколько процентов число b меньше числа a?

174. Объем промышленной продукции увеличился в 10 раз. На сколько процентов произошло увеличение?

175. Цех выпускает 200 изделий в год. На сколько изделий увеличится выпуск продукции в год, если производительность труда повысится на 45%?

176. В результате увеличения производительности труда на 35% цех стал выпускать в день 405 изделий. Сколько изделий в день цех выпускал до повышения производительности?

177. Завод перевыполнил план на 3, 5% и выпустил продукции на 238,05 миллиона рублей. Каков план завода?

178. Заработную плату сначала увеличили на 10%, а затем снизили на 5%, после чего она стала равной 5 313 руб. Какова первоначальная зарплата?

179. Население города за год выросло с 80 000 до 82 400 человек. Найти годовой прирост населения в %.

180. В банк внесена сумма 50 000 рублей. Банк начисляет проценты по ставке 15 % годовых. Какая сумма будет на счете вкладчика через два года?

Решение. Обозначим через S(0) сумму, которую внес вкладчик. По условию S(0) = 50 000. Через один год на счете вкладчика окажется сумма

S(1) = S(0) + 0,15 S(0) = (1 + 0,15) S(0) = 1,15 S(0).

Через два года сумма будет следующей:

S(2) = S(1) + S(1)0,15 = S(1)(1 + 0,15) = S(0)1,15². Таким образом,

S(2) = 50 0001,15² = 50 0001,3225 = 66 125 (руб.)

Ответ: 66 125 руб.

181. Количество студентов в институте ежегодно увеличивалось на один и тот же процент и за три года возросло с 1 000 до 1 728 человек. На сколько процентов увеличивалось число студентов ежегодно?

Решение. Пусть число студентов ежегодно увеличивалось на х % . Тогда по формуле сложных процентов .

Отсюда получаем, что .

Следовательно, (%).

Ответ: 20%

182. Срочный вклад, положенный в сбербанк, ежегодно увеличивается на 3 %. Каким станет вклад через 3 года, если в начале он был равен 800 руб.?

183. Пусть вкладчик внес на свой счет в банке S(0) рублей. Банк выплачивает p % годовых. Выяснить, как изменится сумма денег на счете вкладчика в зависимости от количества лет, которые вклад находился в банке.

184. Сколько лет лежал в банке вклад 16 000 рублей, если по ставке 15 % годовых он достиг величины 27 984,1 рублей?

185. Сберкасса выплачивает 5 % годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?

186. После двух последовательных повышений заработная плата увеличилась на 87,5%. На сколько процентов зарплата повысилась первый раз, если второе повышение было вдвое больше (в процентном отношении), чем в первый?

187. Температура воздуха утром была а градусов, за день она поднялась на несколько процентов, а за ночь понизилась на столько же процентов и стала равной b градусам. На сколько процентов менялась температура.

Решение. Пусть температура за день поднялась на х %, тогда она стала равной

градусов. За ночь она понизилась на градусов и стала равной . Из условия задачи следует, что

Тогда

и .

Ответ: %.

188. Радиус круга, который составляет 10 см, увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь круга?

189. Как изменится площадь прямоугольника, если:

а) длина его увеличится на 20 %, а ширина увеличится на 25 %

б) длина увеличится на 20 %, а ширина уменьшится на 20 %?

190. Все ребра куба увеличили на 20%, а затем объем получившегося куба уменьшили на 20%. Как изменится первоначальный объем ?

191. Одну сторону квадрата увеличили на 10%, а другую – уменьшили на 10%. Как изменится площадь фигуры? Рассмотреть соответствующий геометрический рисунок.

192. Имеются две концентрические окружности с радиусами R  2 см и r  1см. На сколько процентов уменьшится площадь кольца, если r увеличить на 10%?

193. На сколько процентов надо увеличить сторону квадрата, чтобы его площадь увеличилась на 21%?

194. После двух последовательных снижений цен на одно и то же число % стоимость товара с 4 000 рублей снизилась до 3 240 рублей. На сколько процентов снижалась стоимость товара каждый раз?

195. Цена товара была снижена на 20 %. На сколько процентов ее надо повысить, чтобы получить исходную цену?

196. Первое число на 20% меньше второго. На сколько процентов второе число больше первого?

197. Товар с перевозкой обошелся в 149 800 рублей. Расходы на перевозку составили 7% от стоимости самого товара. Сколько рублей стоила перевозка товара?

198. Найдите число, если известно, что 25 % этого числа равны 45% от числа 320?

199. В первую поездку автолюбитель израсходовал 10% имеющегося в баке бензина, во вторую – 25 % остатка. После этого в баке осталось бензина на 13 литров меньше, чем было первоначально. Сколько литров бензина было в баке первоначально?

200. В первый день со склада вывезли 30% товара, а во второй – 45% оставшегося товара. Сколько процентов товара осталось на складе?

201. При обработке деревянного бруса его длина уменьшилась на 10%, ширина – на 30%, а толщина – на 20%. Сколько процентов древесины пошло в отходы?

202. Рабочий день уменьшили с 8 до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата выросла на 5%? (Считать заработную плату пропорциональной произведенной продукции).

Решение. Обозначим через р исходную производительность труда. Тогда начальный объем производства будет равен 8р. После увеличения производительности труда на х% она станет равной р_{1 } , а новый объем производства с учетом изменения продолжительности. рабочего дня с 8 до 7 часов будет равен 7р₁  . Поскольку заработная плата, а следовательно, и объем производства увеличились на 5%, то

, то есть  . Отсюда находим, что .

Ответ: 20%

203.Объем строительных работ увеличился на 80%. На сколько процентов необходимо увеличить число рабочих, если производительность труда повысится на 20%? (Считать, что объем строительных работ пропорционален числу рабочих).

204. Производительность труда на предприятии снизилась на 20%. На сколько процентов ее надо повысить, чтобы получить первоначальную производительность труда.

205. За год цех в целом увеличил выпуск продукции на 34%. При этом 20% рабочих цеха увеличили выпуск продукции на 50%. На сколько процентов увеличили выпуск продукции остальные рабочие?

206. Заработок рабочего повысился на 19%, а цены на продукты и другие товары снизились на 15%. На сколько процентов больше рабочий сможет купить продуктов и товаров?

207. На сколько процентов увеличится покупательная способность населения (количество товаров, которое можно приобрести на данную сумму денег), если цены на все товары снизить на 20 %.

208. Цех увеличивал объем выпускаемой продукции ежемесячно на одно и тоже количество процентов. Найти это число, если за два месяца объем выпускаемой продукции увеличился на 44%.

209. На некотором участке пути средняя скорость поезда на 20% ниже, чем предусмотрено расписанием. На сколько процентов увеличилось время прохождения этого участка?

210. Объем строительных работ увеличился на 60%. На сколько процентов нужно увеличить число работающих, если производительность труда повысится на 30%?

211. Что больше: 20% от 10% данного числа или 10% от его 20%?

212. В городе N за последний год численность населения уменьшилась на 4%, а число безработных увеличилось на 5%. Сколько % от общего числа жителей составляют безработные, если год назад их было 8%?

213. Антикварный магазин приобрел два предмета, а затем продал их на общую сумму 39 900 рублей, при этом прибыль составила 40%. За сколько рублей магазин купил каждый предмет, если при продаже первого предмета прибыль составила 30%, а при продаже второго – 55%.

214. Брокерская фирма приобрела два пакета акций, а затем их продала на общую сумму 7 млн. 680 тыс. руб., получив при этом прибыли 28%. За какую сумму фирма приобрела каждый из пакетов акций, если при продаже первого пакета прибыль составила 40%, а при продаже второго – 20%?

215. Сначала зарплату увеличили на 10%, а затем еще раз увеличили на 8%. В результате двух повышений она стала составлять 11 880 руб. Какова первоначальная заработная плата?

216. При социологическом опросе 15 000 респондентов было выяснено, что порядка 84% из них поддерживает введение смертной казни для террористов, порядка 11% ответили, что не поддерживают, остальные затруднялись ответить. Сколько человек оказалось в каждой из трех групп? (По материалам газеты «Аргументы и факты»)

217. Продолжительность жизни мужчин в России в среднем составляет 58,5 года, а в странах Евросоюза – 77 лет. На сколько % в среднем меньше продолжительность жизни мужчин в России по сравнению со странами Евросоюза? (По материалам газеты «Аргументы и факты»)