3.4. Интегральное исчисление функции одной переменной
3.4.1. Неопределенный интеграл, его основные свойства.
В
дифференциальном исчислении решается
задача отыскания для данной функции
ее производной. Интегральное исчисление
решает обратную задачу: найти функцию
,
зная ее производную
.
Определение
1. Функция
называется первообразной
функции
на заданном промежутке,
если для всех
из этого промежутка выполняется условие
.
Пример.
Дана функция
.
Первообразной для нее служит функция
,
т.к
.
Первообразной
для нее является также и любая функция
,
где С – постоянная, ибо
.
Теорема
1. Если функция
– первообразная функции
на заданном
промежутке, то и любая функция
является первообразной этой функции.
Следствие.
Если функция имеет первообразную, то
она имеет бесконечно много первообразных.
Любые две различные первообразные
данной функции отличаются друг от друга
на константу
.
Множество всех первообразных для функции задается формулой . График каждой первообразной называется интегральной кривой.
Определение
2. Совокупность
всех первообразных для функции
на данном промежутке называется
неопределенным
интегралом
от этой функции и обозначается символом
:
.
(1)
В
записи
называется подынтегральной функцией;
выражение
– подынтегральным выражением, х
– переменной интегрирования;
знак
неопределенного интеграла.
Нахождение неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции . Операции интегрирования и дифференцирования – это взаимно обратные операции.
Графики
всех функций, составляющих неопределенный
интеграл, образуют семейство кривых
,
получающихся из какой-то одной кривой
семейства параллельным переносом ее
вдоль оси 0y.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1.
.
2.
,
.
3.
,
.
4.
.
5.
.
Свойства 4 и 5 называются свойствами линейности.
6.
Формула интегрирования остается
справедливой, независимо от того,
является ли переменная интегрирования
независимой переменной или какой-то
функцией от нее:
,
независимо от того
или
.
(инвариантность неопределенного
интеграла).
3.4.2. Таблица основных неопределенных интегралов.
Методы интегрирования
10.
.
11.
.
12.
13.
Идея различных методов нахождения интегралов состоит в сведении искомого интеграла к табличному или сумме табличных. Можно выделить 3 основные метода интегрирования:
1) непосредственное интегрирование;
2) метод интегрирования по частям;
3) метод замены переменной.
Непосредственное интегрирование использует лишь преобразования подынтегральной функции и свойства неопределенного интеграла с целью сведения данного интеграла к вычислению интегралов табличных.
Интегрирование по частям осуществляется по формуле
;
(2)
где
и
–
дифференцируемые функции. Этот метод
применяют в случаях:
1) подынтегральная функция представляет собой произведение тригонометрической или показательной функции на степенную (или многочлен); за тогда принимается степенная функция (или многочлен);
2) подынтегральная функция представляет собой произведение обратной тригонометрической или логарифмической функции на степенную (или многочлен); за тогда принимается обратная тригонометрическая функция или логарифм.
3)
Замена
переменной
предполагает замену переменной
новой переменной по формуле
,
после чего получается интеграл
.
(3)
Задачи.
143.Убедиться,
что функция
является первообразной функции
на
.
Решение.
Для доказательства надо найти производную
функции
.
.
Так как
,
то
является первообразной функции
.
144.
Убедиться, пользуясь определением, что
.
Решение.
Для доказательства найдем производную
правой части равенства:
.
Так как эта производная равна
подынтегральной функции, то равенство
справедливо.
145.
Вычислить
Решение.
При вычислении этого интеграла применим
свойства 4, 5 и табличные интегралы2, 3.
.
146.
Вычислить
.
Решение. Выполним в числителе возведение суммы в квадрат, а затем деление каждого слагаемого на знаменатель. Вычисление интеграла сведется к вычислению суммы трех табличных интегралов:
.
147.
Вычислить
.
Решение. Сведем подынтегральное выражение к табличному виду 13.
=
.
148.
Вычислить
.
Решение.
Подынтегральная
функция представляет собой произведение
логарифмической
функции
на степенную
,
поэтому применим метод интегрирования
по частям. Положим
.
Тогда
.
Считают, что с=0,
и тогда, согласно формуле интегрирования
по частям,
.
149.
Вычислить
.
Решение.
Применим
метод интегрирования по частям (поясните
почему). Пусть
.
Тогда
.
По формуле интегрирования по частям
получим:
.
150.
Вычислить
.
Решение. Применим метод замены переменной с тем, чтобы освободить-
ся
от радикалов. Пусть
.
Тогда
и
.
Тогда
=
.
Теперь вернемся к исходной переменной
:
.
151.
Вычислить
.
Так
как
,
то применим замену
.
Тогда
, и
.
Переходя к исходной переменной, получим:
=
.
Вычислите интегралы
152.
.
153.
.
154.
.
155.
.
156.
.
157.
.
158.
.
159.
.
160.
.
161.
.
162.
.
163.
.
164.
.
165.
.
166.
.
167.
