1.2 Процессы наращения и дисконтирования.

Процесс наращения – это увеличение первоначальной суммы денег. Пусть - исходная сумма, - наращенная сумма за время t или будущая сумма . Эффективность такой финансовой операции за один период Т от t = 0 до t = T рассчитывается, как доля прироста капитала к первоначальной сумме

. (1.1)

Величина называется процентной ставкой за период наращения Т.

Рис.1.1. Графическое изображение процесса наращения.

Настоящее. Будущее.

Начальная (настоящая) сумма Возвращаемая (будущая)сумма

(РV-present value)² (FV –future value)

наращение

Наращенная сумма за период t, как следует из формулы (1.1) равна

. (1.2)

Время генерирует деньги.

Если известна возвращаемая сумма и надо найти отношение прироста к конечной сумме , то этот процесс называется дисконтированием.

Рис.1.2. Графическое изображение процесса дисконтирования.

Настоящее. Будущее.

Начальная (настоящая) сумма Возвращаемая (будущая)сумма

(РV-present value) (FV –future value)

дисконтирование

, (1.3)

величина d – называется ставкой дисконтирования за время t. Дисконтом D называется разница между суммой возврата и первоначальной суммой долга.

. (1.4)

Процесс нахождения первоначальной суммы при известной величине называется дисконтированием или банковским учетом. Из (1.3) эта величина равна

. (1.5)

В финансовой практике d называется часто учетной ставкой. Учетная ставка используется тогда, когда плата за кредит (процентный доход) начисляется авансом при выдаче кредита и связана с так называемым «антисипативным» способом начисления процента. Заемщику выдается сумма, уменьшенная на величину процентного дохода, а возвращается полная сумма долга.

Из формул (1.2) и (1.5) легко найти связь между процентной ставкой r и учетной ставкой d.

, .Если , а , то ,

следовательно процентная ставка r и дисконт d cвязаны соотношением

. (1.6)

Из приведенных формул следует, что теоретическая дисконтная ставка d меньше процентной ставки r.

Наряду с банковским дисконтированием, в котором используется учетная ставка, существует и математическое дисконтирование, в котором, используется процентная ставка r. При математическом дисконтировании сумма за один период равна

. (1.7)

Если величина , то можно использовать приближение , в результате получим .

Выше приведенные соотношения между начальной и наращенной суммой соответствуют одному временному интервалу – периоду начисления (дисконтирования) t. Если таких периодов несколько, то в формулах наращения (1.2) и дисконтирования (1.5) появляется коэффициенты (множители) наращения и дисконтирования.

Пример 1. Фирма получила кредит на один год в размере 10 млн. руб. с условием возврата а) 15млн. руб., б) 10,5 млн. руб. Найти процентную ставку и дисконт.

Решение.

а) в процентах r = 50%, d = 33,33%.

б) , в процентах r = 5%, d = 4,8%.

При равных наращенных и начальных суммах величина учетной ставки меньше процентной ставки. При уменьшении наращенной суммы разность между учетной и процентной ставкой уменьшается.

Пример 2. Кредит был выдан под 12% годовых. Найти начальную сумму, если возвращаемая сумма равна 650 тыс. руб.

Решение. Расчет начальной суммы можно произвести двумя способами. По методу банковского дисконтирования (1.5) начальная сумма равна

572 тыс. руб.

Начальная сумма, рассчитанная по методу математического дисконтирования равна

580,357 тыс. руб.

Пример 3. Сравнить наращенные проценты по процентной ставке и учетной ставке, считая их равными.

Решение. Величина наращенных процентов по процентной ставке r равна , по учетной ставке d равна , поскольку , то при равенстве r = d, учетная ставка приводит к большей величине задолженности, чем процентная ставка r.