Тема 4. Введение в анализ.

[1] с. 157 пример 6.4 (а, б), с. 159 пример 6.5,

c. 159 задача о непрерывном начислении процентов,

с. 166 примеры 6.8 (а – г) – 6.9 (а – в).

[5] c. 143 № 640 – 644, с. 144 – 145 № 645 – 653.

[7], с. 106 примеры 1 – 4, с. 104 пример 3, с. 117 пример 4, с. 118

пример 6, с. 119 §6.8, с. 120 – 121 примеры 1 – 4.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 4. Вычислить пределы:

Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель .

б) При выражение дает неопределенность вида . Для ее устранения, умножим и разделим это выражение на сопряженное выражение . После этого применим формулу

Для раскрытия неопределенности разделили числитель и знаменатель дроби на старшую степень , т.е. на .

в) Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенному выражению вида . Для ее раскрытия введем замену. Обозначим . Тогда и при имеем, Далее, применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела

г) При подстановке предельного значения , выражение является неопределенностью вида Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы единицы и бесконечно малой величины при После этого применим формулу второго замечательного предела:

Обозначим Тогда и при получаем, что . Переходя к переменной , получим:

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение функции.

2. Что называется областью определения функции? Областью изменения функции?

3. Перечислите основные элементарные функции. Назовите их основные свойства.

4. Что называется пределом числовой последовательности?

5. Сформулируйте определение предела функции.

6. Назовите основные свойства пределов функции.

7. Какая функция называется бесконечно малой? Бесконечно большой?

8. Назовите основные свойства бесконечно малых функций.

9. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов. Какие неопределенности данные пределы раскрывают?

10.  Какие логарифмы называются натуральными?

11.  Дайте определение односторонних пределов функции в точке.

12.  Какая функция называется непрерывной в точке? На интервале?

13.  Какая точка называется точкой разрыва первого рода? Второго рода?

14.  Перечислите основные свойства непрерывных на отрезке функций.

Тема 5. Производная и дифференциал функции.

[1] c. 186 пример 7.7 (а – в), с. 190 пример 7.8 (а, б),

с. 199 примеры 7.11 – 7.12, с. 199 – 201 пример 7.13 (а – ж),

с. 202 пример 7.14 (а, б), с. 204 – 206 примеры 7.17 – 7.19.

[2], с. 188 – 190, № 7.13 (а – г) – 7.20, с. 199 – 202 № 7.131 – 7.136.

[5], с. 153 – 156 № 745 – 770, с. 159 № 896, 897, с. 160 № 908,

с. 166 № 975 – 981.

Для нахождения производной функции необходимо знать правила и формулы дифференцирования.

Правила дифференцирования:

произвольная константа; некоторые дифференцируемые функции от

1.

2.

;

Теорема. Если и дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна

Формулы дифференцирования:

Пусть сложная функция от число

1.

2.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 5. Определить производные функций:

Решение. а) Последовательно применяя формулы и правила дифференцирования, получим:

б)

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной надо продифференцировать по переменной обе части уравнения, считая при этом функцией от , а затем полученное уравнение разрешить относительно

Из последнего равенства выражаем производную

Вопросы для самопроверки

1. Что называется производной функции?

2. Каков геометрический, физический смысл производной?

3. Как взаимосвязаны непрерывность функции и ее дифференцируемость в точке?

4. Напишите основные правила дифференцирования.

5. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

6. Напишите формулы дифференцирования основных функций?

7. Что называется дифференциалом функции?

8. Каков геометрический смысл дифференциала функции.

9. Перечислите основные свойства дифференциала функции.

10. Напишите формулу, позволяющую находить приближенное значение функции при помощи ее дифференциала.

11.  Как найти производную второго, третьего, n – го порядков?

12.  Как вычислить дифференциал второго порядка от данной функции?