Четно-симметрические многочлены

Естественно рассмотреть класс многочленов, объединяющий симметрические и антисимметрические многочлены. Именно, назовем многочлен четно-симметрическим, если он не изменяется ни при какой четной перестановке переменных x₁, x₂, x₃. Как мы видели, к числу четно-симметрических многочленов относятся и симметрические и антисимметрические многочлены.

Возникает вопрос, насколько же широкий класс многочленов у нас получился? Оказывается, расширение не слишком велико:

Любой четно-симметрический многочлен является суммой симметрического и антисимметрического многочленов.

Для доказательства возьмем произвольный четно-симметрический многочлен Р(x, y, z) и переставим в нем переменные x и y. При этом получится, вообще говоря, другой многочлен Q(x, y, z). Но если сделать перестановку любых двух переменных в многочлене Q(x, y, z), то по условию снова получится многочлен Р(x, y, z) (ибо две выполненные одна за другой перестановки двух переменных равносильны четной перестановке переменных x, y, z, а при четной перестановке многочлен Р(x, y, z) не меняется). С другой стороны, при перестановке в многочлене Р(x, y, z) любых других двух переменных получится тот же самый многочлен Q(x, y, z), что и при перестановке переменных x и y.

Итак, любая перестановка двух переменных превращает многочлен Р в Q, а многочлен Q - в Р. Но тогда многочлен

F(x, y, z)=Р(x, y, z)+Q(x, y, z)

не меняется ни при какой перестановке двух переменных (лишь меняются местами слагаемые). Поэтому он симметричен. Многочлен же

H(x, y, z)=Р(x, y, z) - Q(x, y, z)

антисимметричен. Но ясно, что

P(x, y, z)= F(x, y, z)+ H(x, y, z).

Тем самым доказано, что любой четно-симметрический многочлен Р(x, y, z) является суммой симметрического и антисимметрического многочленов.

Поскольку мы знаем строение и симметрических и антисимметрических многочленов, получаем следующий результат:

Любой четно-симметрический многочлен от трех переменных x, y, z может быть представлен в виде некоторого многочлена от многочленов , , и T=(x-y)(x-z)(y-z). При этом многочлен Т входит в выражение не более чем в первой степени, так как многочлен Т²= является симметрическим и потому может быть выражен через , , .

Применение к элементарной алгебре Разложение на множители

Доказанная ранее основная теорема об антисимметрических многочленах позволяет значительно упростить решение целого ряда задач элементарной алгебры. Так как любой антисимметрический многочлен от трех переменных x, y, z делится на многочлен

T(x, y, z)=(x-y)(x-z)(y-z),

то мы сразу получаем возможность разложить любой антисимметрический многочлен ƒ(x, y, z) на множители:

ƒ(x, y, z)=T(x, y, z)·g(x, y, z),( )

где g(x, y, z) - симметрический многочлен. В свою очередь, симметрический многочлен g(x, y, z) также иногда может быть разложен на множители (его можно выразить через , , и попытаться разложить на множители получившийся многочлен от , , , если это удастся, то, подставляя значения , , , мы получим разложение на множители исходного многочлена g(x, y, z)). Заметим, что для отыскания частного

g(x, y, z)=

нецелесообразно производить деление («в столбик») антисимметрического многочлена ƒ(x, y, z) на кубический многочлен T(x, y, z). Более удобным (когда степень многочлена ƒ(x, y, z) не слишком высока) является метод частных значений.

Именно, если антисимметрический многочлен ƒ(x, y, z) имеет третью степень, то частное

( )

является многочленом нулевой степени, то есть числом:

ƒ(x, y, z)=k·T(x, y, z).

Это соотношение является тождеством, то есть справедливо при любых значениях x, y, z. Поэтому для определения числа k достаточно в последнем равенстве придать x, y, z какие-либо (попарно различные) числовые значения; отсюда и определяется число k.

Если антисимметрический многочлен ƒ(x, y, z) является однородным многочленом четвертой степени, то частное ( ) является однородным симметрическим многочленом первой степени, то есть имеет вид :

ƒ(x, y, z)=T(x, y, z)·

(k - число). И здесь для определения неизвестного коэффициента k достаточно придать x, y, z какие-либо числовые значения.

Аналогично, если ƒ(x, y, z) - однородный антисимметрический многочлен пятой степени, то частное ( ) является однородным симметрическим многочленом второй степени, то есть имеет вид , где k и l - неизвестные коэффициенты: