2.3. Розподіл енергії в спектрів випромінювання абсолютно чорного тіла. Формула Планка

Наприкінці XIX ст. були проведені теоретичні пошуки функції ε(ν, T). У 1887 р, В.О. Міхельсон (1860–1927) застосував методи статистичної фізики до множини елементарних випромінювачів, якою уявляли нагріте тіло, і знайшов формулу для e(ν, Т). Проте вона лише наближено відбивала дослідну криву випромінювання. У 1893 р. він одержав формулу для ε(ν, T) методом екстраполяції, але вона збігалася з дослідними даними лише в ділянці коротких хвиль. Спираючись на закони класичної електродинаміки і закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності, Д. Релей вивів для ε(ν, T) таку формулу:

, (2.12)

в одиничному інтервалі довжин хвиль. В інтервалі довжин або в інтервалі частот формула Релея матиме вигляд

, (2.13)

де с – швидкість світла у вакуумі; k – стала Больцмана.

Формула Релея давала правильні значення в інтервалі великих довжин хвиль, але приводила до абсурдного результату при обчисленні інтегральної випромінювальної здатності (виходило, що ) та давала значні відхилення від дослідних даних в інтервалі коротких хвиль. Усі ці труднощі (в науці їх образно називали «ультрафіолетовою катастрофою»), а також труднощі в поясненні закономірності лінійчастих спектрів свідчили про те, що класична електромагнітна теорія випромінювання є дуже наближеною і потребує докорінного перегляду.

У 1900 p. M. Планк започаткував нову квантову теорію випромінювання. Він висунув гіпотезу, що енергія атомного осцилятора може набувати лише цілком певних, дискретних значень, а тому його випромінювання має бути не безперервним, а дискретним, тобто випромінюватися окремими порціями, квантами. Енергія кванта має бути пропорційна частоті:

,

де h – стала Планка.

З цих припущень М. Планку вдалося вивести для формулу, яка добре узгоджувалася з дослідними даними.

Для виведення формули Планка уявімо у твердому тілі, нагрітому до температури Т, замкнену порожнину. Стінки порожнини випромінюватимуть і поглинатимуть електромагнітні хвилі і в ній встановиться певне рівноважне випромінювання. Припустимо, що внаслідок випромінювання і поглинання енергія атомів стінок змінюється стрибкоподібно:

. (2.14)

Атоми, що мають енергію назвемо збудженими.

Виділимо на стінці деяку ділянку, яка бере участь у рівноважному випромінюванні, і застосуємо до неї закон розподілу атомів за енергіями Больцмана. Згідно із законом, числа атомів, що мають енергію Е₂ і Е₁ відповідно дорівнюють

; ,

звідки

. (2.15)

У стані рівноважного випромінювання число атомів, що випромінюють світло за певний період часу, дорівнює числу атомів, що поглинають світло за цей самий час. Обчислимо кількості актів випромінювання за одиницю часу окремо.

Розглянемо збуджені атоми N₂. їх перехід на нижчий енергетичний рівень, що супроводжується випромінюванням фотонів, може бути самовільним (спонтанним) або відбуватися під впливом падаючих електромагнітних хвиль. Відомо, що відповідно до законів електродинаміки електромагнітна хвиля, яка падає на коливальний диполь, залежно від співвідношення фаз їхніх коливань, може як підсилювати, так і гальмувати коливання диполя. Інакше кажучи, падаючі промені можуть змушувати атом не тільки поглинати, а й випромінювати відповідні кванти енергії. Саме гальмування коливань під дією падаючої хвилі відповідає переходам атомів із вищого енергетичного рівня Е₂ на нижчий Е₁ що супроводжується випромінюванням фотонів.

Кількість спонтанних випромінювань збуджених атомів за одиницю часу, очевидно, пропорційна числу атомів N₂ і дорівнює AN₂, де А – коефіцієнт пропорційності.

Кількість актів випромінювання збуджених атомів, зумовлених падаючими хвилями, пропорційна також числу збуджених атомів N₂ та густині енергії падаючих променів . Оскільки пропорційна , то кількість вимушених випромінювань буде , де – відповідний коефіцієнт імовірності переходу атомів із вищого енергетичного рівня Е₂ на нижчий рівень E₁.

Кількість усіх випромінювань збуджених атомів, а отже, число фотонів, що випромінюються за одиницю часу, дорівнює

. (2.16)

Кількість актів поглинання фотонів атомами N₁, внаслідок чого вони переходять на вищий енергетичний рівень (для однієї й тієї самої ділянки стінки і за одиницю часу), пропорційна кількості самих атомів і густині енергії падаючих променів. Отже, кількість цих атомів

, (2.17)

де – відповідний коефіцієнт імовірності переходу атомів з рівня Е₁ на рівень Е₂.

Прирівнявши вирази (2.16) і (2.17) для рівноважного випромінювання, дістанемо:

. (2.18)

Розв’яжемо цe рівняння відносно , взявши до уваги рівність (2.15). Матимемо: . (2.19)

Коефіцієнти А, В₁₂ і В₂₁ можна визначити з граничних умов. ,

1. За нескінченно високої температури, коли формула (2.19) набуває вигляду

. (2.20)

З іншого боку, коли . З останнього випливає, знаменник у виразі (2.20) прямує до нуля, отже . Підставивши цей вираз у формулу (2.19) дістанемо

(2.21)

2. Для інтервалу довгих хвиль енергія кванта випромінювання дуже мала порівняно з енергією теплового руху тому можна обмежитися двома першими членами розкладеної в ряд функції ,

.

Отже, формулу (2.21) можна записати в такому вигляді.

. (2.22)

Оскільки для дуже довгих хвиль енергія квантів надто мала, то на ту енергію, що випромінюється з одиниці площі за одиницю часу, припадає таке велике число квантів, що процес випромінювання практично можна вважати безперервним. Саме тому для цього інтервалу справджується класична формула Релея (2.12). Прирівнявши вирази

(2.22) і (2.13), отримаємо

,

звідки

.

Якщо підставити це значення для коефіцієнтів у вираз (2.21), то матимемо формулу Планка в одиничному інтервалі частот:

. (2.23)

В інтервалі частот її записують так:

, (2.24)

де h=6,62х10^-34 Дж · с – стала Планка; k= 1,38·10^-34 Дж/К – стала Больцмана.

Формулу Планка інакше називають законом розподілу спектральної потужності рівноважного випромінюваная з одиниці поверхні абсолютно чорного тіла в тілесний кут 2π залежно від температури Т.

Для цього проінтегруємо вираз ε(v, T)dv за частотою від 0 до ∞:

;

зробивши заміни

,

дістанемо

, (2.25)

де останній інтеграл виражає число, що дорівнює .

Знайдений вираз засвідчує, що повна енергія випромінювання пропорційна четвертому степеню абсолютної температури тіла.

Закон Віна можна отримати при розв’язуванні задачі на знаходження максимуму функції ε(v, T). Для цього потрібно першу похідну від Ј(v, T) по v прирівняти до нуля і з останнього рівняння знайти v_mx.

Формула Планка дає змогу обчислити, який відсоток випромінюваної енергії припадає на заданий інтервал частот. Можна довести, що навіть для дуже високих температур у земних умовах на видиме світло припадає лише 3–5 % енергії випромінювання; ще менше її припадає на частку ультрафіолетових променів. Основна частина енергії випромінювання пов’язана із інфрачервоними променями. З цього пог­ляду електричні лампи розжарювання – це більше теплові, ніж освітлювальні прилади. Зауважимо, що в люмінесцентних лампах на частку видимого світла припадає 10–12% усієї споживаної енергії.

Гіпотеза Планка про квантовий характер випромінювання виявилася плідною і в інших галу­зях фізики. У 1905 р. А. Ейнштейн на основі цієї гіпотези створив квантову теорію фотоефекту, а в 1913 p. H. Бор розробив квантову теорію будови атома.