11.2.Побудова диференціального рівняння для математичного маятника та для маятника поперечних коливань.

Маятник рухається під силою:

Ft = Psinf(t)

Закон долонбера:

Сума всіх сил які діють на тіло рівна нулю

Fi = ma

S(t)=l*f(t)

a(t) = S’’(t) = lf’’(t)

Ft+Fi = 0

P*sinf(t) + mlf’’(t)=0

mgsinf(t) + mlf’’(t) = 0

f’’ + g/l*sinf = 0

f’’ = - g/l*sinf

f’’ = -w^2*sinf – це диф. модель математичного маятника

Це р-ня є нелінійним, його важко розв’язати, тому на практиці це р-ня спрощують:

Sinx = x – x^3/3! + x^5/5! .....

Коли х – мале, то sinx = x, враховуючи це маємо: f’’ = -w^2f

Рівняня для маятника поперечних коливань:

Fi + Fn = 0

Fi = ma= mx’’

Fn = kx

mx’’ + kx = 0

x’’ = -k/m*x

k/m = w^2

x’’ = -w^2*x

12

12.1.Предмет «Чисельні методи», його роль в сучасній науці.

методи наближеного або точного розвязку задач чистої або прикладної математики , які грунтуються на побудові послідовності дій над скінченною множиною чисел.

12.2.Загальна постановка задачі інтерполяції. Сітка, рівномірна сітка, вузли інтерполяції. Інтерполяційний поліном.

Задача інтерполяції: Побудувати(знайти) таку функцію що у вузлах решітки x0.x1.x2 набуває значень g . g1. g2.

Точки Х0,Х1,Х2…Хn – називаються вузлами сітки, а сукупність всіх точок їх сіткою.

Рівномірна сітка – це сітка в якої всі дельта t та дельта х рівні!

Постановка задачі. Нехай відомі значення функції y = f(x) у декількох точках xi, i = 0, 1, …, n; a < xi < b. Задача полягає у відновленні виду функції f(x) та/або її значень у інших точках з деякою точністю.

Термінологія. Точки xi, i = 0, 1, …, n - вузли інтерполяції, yi - вузлові значення.

Інтерполяція - апроксимація. У такому порівнянні інтерполюванням називається задача відшукання функції f(x) такої, що точно вдовольняє вузловим значенням: f(xi ) = yi , i = 0, …, n.

Апроксимацією називається функція f(x), близька до y лише у тому сенсі. що сумарна помилка S = || f - y || є мінімальною.

Інтерполяція - екстраполяція. У такому протиставленні інтерполяцією називають обчислення значень функції всередині інтервалу [a; b]; екстраполяцією - поза цим інтервалом.

Інтерполяційні поліноми. Поліном Pn(x) степеня n, що точно вдовольняє вузловим значенням, існує та є єдиним. Для його відшукання треба розв’язати систему

{ Pn(x0) = an x0n + an-1x0n-1 + … + a1 x0 + a0 = y0;

Pn(xn) = an xnn + an-1xnn-1 + … + a1 xn + a0 = yn;

відносно коефіцієнтів an, …, a0. Для спрощення задачі існують певні форми запису цього поліному.

13

13.1.Значущі цифри числа, вірні значущі цифри, точність числа до . Заокруглення числа.

Значущі цифри числа. Значущими цифрами числа називають усі його цифри, крім нулів, що стоять лівіше від першої, відмінної від нуля цифри, та нулів, що стоять в кінці числа, якщо їх взято замість невідомих або відкинутих цифр.

Значуща цифра називається вірною, якщо абсолютна похибка числа неперевищує 1/2 одиниці розряду, що відповідає цій цифрі.

1.Якщо перша відкинута цифра більша від чотирьох то остання збережена цифра збільшується на одиницю. Наприклад, при округлення до сотих: .

2. Якщо перша відкинута цифра є менша від чотирьох або дорівнює чотирьом, то остання збережена цифра не змінюється. Наприклад, округлення до сотих: .

3. Якщо відкинута частина числа складається з однієї цифри 5, то число округлюють так, щоб остання збережена цифра була парною.