Якщо нелінійна функція перетворення має вигляд
(1.6)
її
можна лінеаризувати, виконавши заміну
змінних
.
Тоді залежність (1.6) набуває вигляду
і для знаходження невідомих коефіцієнтів застосовується стандартна процедура методу найменших квадратів.
У випадку, коли для апроксимації нелінійної характеристики використовується функція вигляду
(1.7)
лінеаризації можна досягти, логарифмуючи обидві частини рівняння
Проводячи
заміну змінних
отримуємо лінійну форму
параметри якої a0, a1 відшукуються методом найменших квадратів.
Оцінкою якості апроксимації емпіричної залежності аналітичною функцією служить залишкова дисперсія
(1.8)
або середньоквадратичне відхилення похибки апроксимації
(1.9)
Найбільш адекватною, з точки зору апроксимуючих можливостей, є та функція, для якої значення виразу (1.8) або (1.9) буде мінімальним.
1.2.2 Короткі відомості про систему MATLAB
Система MATLAB є інтерактивною системою для виконання інженерних та наукових розрахунків, орієнтованою на роботу з масивами даних [4]. Система використовує математичний співпроцесор і дає можливість звертання до програм, написаних на мовах FORTRAN, C та C++.
Система підтримує виконання операцій з векторами, матрицями і масивами даних (включаючи операції з комплексними числами), реалізує сингулярне та спектральне розкладання, обчислення рангу та чисел зумовленості матриць, підтримує роботу з алгебраїчними поліномами, розв’язання нелінійних рівнянь і задач оптимізації, розв’язання диференційних і різницевих рівнянь, побудову різноманітних видів графіків, тривимірних поверхонь та ліній рівня. В системі реалізовано зручне операційне середовище, яке дозволяє формулювати проблеми і отримувати рішення у звичній математичній формі, не звертаючись до рутинного програмування.
Основним об’єктом системи MATLAB є прямокутний числовий масив, що допускає комплексні елементи і ввід матриць без явного указування їх розмірів. Система дозволяє вирішувати багато обчислювальних проблем за більш короткий час, ніж той, який був би потрібен для написання відповідних програм на мовах FORTRAN, BASIC чи C.
Розглянемо основні прийоми програмування в системі MATLAB. Мова, що використовується в MATLAB, можна порівняти з мовою BASIC по простоті її застосування і принципу безпосереднього виконання. Мова MATLAB – це мова операторів. Оператори, які вводяться користувачем в командному рядку, виконуються в режимі інтерпретації. Оператори мають дві форми запису:
з явним присвоюванням:
змінна = вираз;
з неявним присвоюванням:
вираз.
Оператори складаються із спеціальних символів, імен функцій і змінних, а також числових констант, і можуть закінчуватися комою або крапкою з комою.
Імена змінних і функцій можуть складатися з будь-яких символів алфавіту системи MATLAB, окрім спеціальних. Ім’я обов’язково повинно починатися з букви, за якою може йти довільне сполучення букв та цифр. Будь-яка змінна інтерпретується в системі MATLAB як двовимірний масив чисел (матриця розмірності (mn)).
Приклад:
1) визначення скаляра
x=5.213;
2) визначення масива з 5 елементів (матриці розмірності (15))
x=[1 2 3 4 5];
3) визначення матриці розмірності (34)
x=[0.1 -2 0 3; -1 0 2 4; 7.5 -4.25 8 256];
Існує можливість визначення масивів з використанням символу <:>
1) x=1:10;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2) x=0:0.1:1;
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Символ <:> використовується також для індексації елементів масивів.
Для побудови двовимірних графіків функцій використовується команда
plot(x,y,s);
де x – одновимірний масив значень аргумента,
y – одновимірний масив значень функції,
s – рядкова змінна, яка задає спосіб відображення точок, колір ліній і точок; може включати до трьох символів із табл. 1.2.
Якщо необхідно побудувати графіки декількох функцій, треба скористатися таким форматом функції plot:
plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,...)
Таблиця 1.2 – Можливі значення параметра s функції plot
Тип лінії |
Тип точки |
Колір |
|||
Неперервна Штрихова Подвійний пунктир Штрих-пунктирна |
- -- : -. |
Точка Плюс Зірочка Кружок Хрестик |
. + * o x |
Жовтий Фіолетовий Голубий Червоний Зелений Синій Білий Чорний |
y m b r g b w k |
Приклад: побудова графіків функцій y = sin x та y = e–x
x=0:pi/30:2*pi;
y1=sin(x); y2=exp(-x);
plot(x,y1,'g',x,y2,'r--');
1.3 Лабораторне завдання
Для заданої градуювальної характеристики терморезисторного перетворювача методом найменших квадратів побудувати лінійну, квадратичну, гіперболічну та експоненційну функції перетворення з використанням системи інженерних та наукових розрахунків MATLAB. Побудувати графіки отриманих функцій перетворення, оцінити похибки апроксимації для кожної функції.
1.4 Опис лабораторної установки
1. Персональний комп’ютер Intel Celeron 2,4 ГГц.
2. Пакет прикладних програм MATLAB 6.0.
1.5 Вказівки до виконання лабораторного завдання
Результатом калібровки терморезисторного перетворювача є градуювальна характеристика, яка наведена в таблиці 1.3. Номер варіанта відповідає порядковому номеру студента в журналі. Необхідно побудувати методом найменших квадратів декілька різних апроксимацій функції перетворення. Для цієї мети можна скористатися спеціально розробленими функціями системи MATLAB:
mnk1(x,y) – знаходження МНК-оцінок параметрів лінійної функції (1.2),
mnk2(x,y) – знаходження МНК-оцінок параметрів квадратичної функції (1.5),
mnk3(x,y) – знаходження МНК-оцінок параметрів гіперболічної функції (1.6),
mnk4(x,y) – знаходження МНК-оцінок параметрів експоненційної функції (1.7).
Вхідні параметри для вищеназваних функцій x і y – одновимірні масиви вхідної і вихідної величини термоперетворювача, формуються за даними табл. 1.3. Кожна функція повертає вектор параметрів відповідної апроксимуючої функції.
Таблиця 1.3 – Експериментальна градуювальна характеристика
термоперетворювача
Номер варіанта |
Вхідний та вихідний сигнали терморезисторного перетворювача |
|||||||||||
1 |
t, oC |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
R, кОм |
0.493 |
0.402 |
0.334 |
0.287 |
0.249 |
0.202 |
0.165 |
0.119 |
0.096 |
0.078 |
0.050 |
|
2 |
t, oC |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
R, кОм |
0.899 |
0.799 |
0.681 |
0.612 |
0.543 |
0.450 |
0.394 |
0.365 |
0.311 |
0.284 |
0.251 |
|
3 |
t, oC |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
R, кОм |
1.377 |
1.203 |
1.011 |
0.884 |
0.765 |
0.662 |
0.543 |
0.483 |
0.417 |
0.341 |
0.295 |
|
4 |
t, oC |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
R, кОм |
0.278 |
0.230 |
0.201 |
0.174 |
0.145 |
0.123 |
0.116 |
0.096 |
0.079 |
0.075 |
0.062 |
|
5 |
t, oC |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
R, кОм |
0.470 |
0.396 |
0.346 |
0.310 |
0.283 |
0.235 |
0.203 |
0.188 |
0.167 |
0.153 |
0.124 |
|
6 |
t, oC |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
R, кОм |
0.237 |
0.210 |
0.193 |
0.173 |
0.158 |
0.140 |
0.129 |
0.113 |
0.104 |
0.096 |
0.086 |
|
7 |
t, oC |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
R, кОм |
0.487 |
0.411 |
0.307 |
0.252 |
0.244 |
0.198 |
0.162 |
0.123 |
0.093 |
0.075 |
0.049 |
|
8 |
t, oC |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
R, кОм |
0.905 |
0.801 |
0.677 |
0.618 |
0.547 |
0.448 |
0.389 |
0.361 |
0.308 |
0.282 |
0.247 |
|
Продовження табл. 1.3
9 |
t, oC |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
R, кОм |
1.381 |
1.198 |
1.008 |
0.879 |
0.760 |
0.658 |
0.538 |
0.477 |
0.415 |
0.336 |
0.301 |
|
10 |
t, oC |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
R, кОм |
0.277 |
0.234 |
0.197 |
0.174 |
0.140 |
0.127 |
0.118 |
0.092 |
0.081 |
0.078 |
0.064 |
|
11 |
t, oC |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
R, кОм |
0.468 |
0.402 |
0.348 |
0.315 |
0.278 |
0.228 |
0.199 |
0.185 |
0.163 |
0.156 |
0.125 |
|
12 |
t, oC |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
R, кОм |
0.240 |
0.211 |
0.195 |
0.174 |
0.157 |
0.143 |
0.130 |
0.112 |
0.103 |
0.095 |
0.084 |
|
13 |
t, oC |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
R, кОм |
0.490 |
0.395 |
0.331 |
0.262 |
0.233 |
0.194 |
0.165 |
0.119 |
0.106 |
0.092 |
0.083 |
|
14 |
t, oC |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
R, кОм |
0.912 |
0.789 |
0.685 |
0.618 |
0.557 |
0.482 |
0.404 |
0.375 |
0.321 |
0.284 |
0.270 |
|
15 |
t, oC |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
R, кОм |
1.380 |
1.215 |
1.010 |
0.876 |
0.760 |
0.657 |
0.538 |
0.479 |
0.412 |
0.335 |
0.288 |
|
16 |
t, oC |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
R, кОм |
0.277 |
0.232 |
0.203 |
0.166 |
0.144 |
0.123 |
0.111 |
0.088 |
0.075 |
0.064 |
0.057 |
|
17 |
t, oC |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
R, кОм |
0.480 |
0.388 |
0.342 |
0.305 |
0.283 |
0.230 |
0.204 |
0.191 |
0.161 |
0.150 |
0.120 |
|
18 |
t, oC |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
R, кОм |
0.242 |
0.215 |
0.196 |
0.176 |
0.154 |
0.137 |
0.125 |
0.108 |
0.104 |
0.098 |
0.091 |
|
19 |
t, oC |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
R, кОм |
0.498 |
0.407 |
0.339 |
0.293 |
0.254 |
0.207 |
0.171 |
0.124 |
0.101 |
0.083 |
0.055 |
|
20 |
t, oC |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
R, кОм |
0.904 |
0.804 |
0.686 |
0.617 |
0.548 |
0.455 |
0.399 |
0.370 |
0.316 |
0.289 |
0.256 |
|
21 |
t, oC |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
R, кОм |
1.382 |
1.208 |
1.016 |
0.889 |
0.770 |
0.667 |
0.548 |
0.488 |
0.422 |
0.346 |
0.300 |
|
22 |
t, oC |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
R, кОм |
0.283 |
0.235 |
0.206 |
0.179 |
0.150 |
0.128 |
0.121 |
0.101 |
0.084 |
0.080 |
0.068 |
|
23 |
t, oC |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
R, кОм |
0.475 |
0.401 |
0.351 |
0.315 |
0.288 |
0.240 |
0.208 |
0.193 |
0.172 |
0.158 |
0.129 |
|
24 |
t, oC |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
R, кОм |
0.242 |
0.215 |
0.202 |
0.178 |
0.163 |
0.145 |
0.134 |
0.118 |
0.109 |
0.101 |
0.091 |
|
25 |
t, oC |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
R, кОм |
0.483 |
0.392 |
0.324 |
0.277 |
0.239 |
0.192 |
0.155 |
0.109 |
0.086 |
0.068 |
0.040 |
|
26 |
t, oC |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
R, кОм |
0.889 |
0.789 |
0.671 |
0.602 |
0.533 |
0.440 |
0.384 |
0.355 |
0.301 |
0.274 |
0.241 |
|
27 |
t, oC |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
R, кОм |
1.367 |
1.193 |
1.001 |
0.874 |
0.765 |
0.652 |
0.533 |
0.473 |
0.407 |
0.331 |
0.285 |
|
28 |
t, oC |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
R, кОм |
0.268 |
0.220 |
0.191 |
0.164 |
0.135 |
0.113 |
0.106 |
0.086 |
0.069 |
0.060 |
0.055 |
|
29 |
t, oC |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
R, кОм |
0.460 |
0.386 |
0.336 |
0.300 |
0.273 |
0.225 |
0.193 |
0.178 |
0.157 |
0.143 |
0.114 |
|
30 |
t, oC |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
R, кОм |
0.227 |
0.200 |
0.183 |
0.163 |
0.148 |
0.130 |
0.119 |
0.103 |
0.094 |
0.086 |
0.076 |
На основі отриманих МНК-оцінок розрахуйте теоретичні значення вихідного сигналу перетворювача та нев’язки з експериментальними даними для кожної з вищезгаданих функцій. Результати зведіть до табл. 1.4.
Таблиця 1.4 – Результати апроксимації градуювальної характеристики
Градуювальна характеристика |
t, oC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R, кОм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лінійна апроксимація |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадратична апроксимація |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гіперболічна апроксимація |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Експоненційна апроксимація |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
кОм
,
кОм
,
кОм
,
кОм
,
кОм
,
кОм
,
кОм
,
кОм
За даними таблиці
1.4 побудуйте графіки отриманих
апроксимуючих функцій
а також експериментальну градуювальну
характеристику. Для кожної з функцій
оцініть похибку апроксимації, користуючись
формулою (1.9). Зробіть висновок про
доцільність використання того чи іншого
виду апроксимуючої функції.