Тема I. Методи розв’язування нелінійних рівнянь

§1. Відокремлення коренів нелінійних рівнянь

Знаходження коренів рівнянь – одна з найдревніших математичних задач, яка часто зустрічається як в інженерній, так і в науковій практиці.

Нехай дано рівняння , де – неперервна функція на інтервалі .

Коренем або розв’язком рівняння називається будь-яке число , яке перетворює це рівняння в тотожність .

Рівняння може не мати коренів на , може мати один корінь або може мати декілька коренів. При наявності коренів виникає задача їх відокремлення.

Корінь рівняння називається відокремленим (ізольованим), якщо для нього визначено окіл, який не містить інших коренів цього рівняння.

Оскільки в більшості випадків знайти аналітичні формули для коренів важко або зовсім не можливо, то користуються наближеними (чисельними) методами.

Процес числового знаходження коренів нелінійного рівняння складається з двох етапів:

1) відокремлення коренів;

2) обчислення коренів з наперед заданою точністю .

Перший етап називають ще задачею визначення відрізків ізоляції коренів. Відокремити корені – означає розбити інтервал на досить малі відрізки , в кожному з яких міститься лише один корінь.

А другий етап – уточненням наближених значень коренів з деякою заданою точністю . Для знаходження коренів з наперед заданою точністю застосовують методи, які дають можливість уточнювати знайдені наближення коренів.

Відокремлення коренів проводять графічно чи аналітично.

Графічне відокремлення коренів.

У

y

x

ніверсальним методом визначення інтервалів, на яких розміщені корені є побудова графіка функції за допомогою ЕОМ. Точки перетину графіка з віссю OX дають значення коренів рівняння по яких наближено визначаємо інтервал ізоляції – числа .

А налітичне відокремлення коренів.

Аналітична локалізація коренів нелінійного рівняння базується на теоремі Больцано-Коші: Якщо неперервна на відрізку функція приймає на кінцях цього відрізка значення різних знаків, тобто

, (1)

то всередині цього відрізка міститься хоча б один корінь рівняння .

Для монотонної на відрізку функції дана теорема гарантує існування одного кореня. Для немонотонної функції умова (1) забезпечує наявність непарної кількості коренів, а протилежна умова означає, що коренів на відрізку немає зовсім, або їх існує парна кількість.

На практиці аналітичний метод локалізації коренів нелінійного рівняння використовують у такому вигляді:

1. знаходять область визначення рівняння ;

2. знаходять критичні точки функції ;

3. записують інтервали монотонності функції ;

4. визначають знак функції на кінцях інтервалів монотонності;

5. визначають відрізки, на кінцях яких функція набуває значень протилежних знаків;

6. знайдені відрізки ізоляції коренів звужують до одиничної довжини.

Зазначимо, що корені рівняння можуть бути дійсними і комплексними. Ми далі будемо розглядати наближені методи обчислення лише дійсних коренів.

Універсальних методів для знаходження точних значень коренів алгебраїчних рівнянь степеня і трансцендентних рівнянь не існує. Крім того, розв’язуючи практичні задачі, часто дістають рівняння з коефіцієнтами, які є наближеними числами. Тоді постановка задачі знаходження точних коренів не має смислу. Тому важливого значення набувають наближені методи знаходження коренів з достатньою для практики точністю. Задача знаходження коренів нелінійного рівняння вважається розв’язаною, якщо корені обчислені із наперед заданою точністю.

Нехай – точний корінь, а – його наближене значення. Кажуть, що корінь обчислено з наперед заданою точністю , якщо . Нехай, наприклад, і , тоді числа a і b – наближенні значення кореня відповідно із недостачею і надлишком з точністю . У цьому випадку за наближене значення з точністю можна взяти будь-яке число з відрізка .

Оцінити величину похибки обчислення значення кореня нелінійного рівняння можна також і з допомогою величини , яка називається нев’язкою.

На практиці уточнення наближених значень коренів нелінійних рівнянь проводять такими наближеними методами: метод ділення навпіл (який ще називають методом дихотомії або бісекції), метод хорд, метод Ньютона (який ще називають методом дотичних), метод простої ітерації, метод верхньої та нижньої релаксації та інші.