5 Некоторые теоремы о диф. Ф-ии (очень важная тема, там много нужных теорем!!)
1) Теорема о корнях производной, Теорема Ферма
Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.
Доказательство.
Пусть, например, f(с)
=
М –
наибольшее значение функции в интервале
(а,
в)
и существует f'(с).
По
определению производной f'(с)=
.
При любом знаке Dх
f(c+Dx)-f(c)≤0,
так как f(с)
– наибольшее значение функции в (а,
в).
Если
Dх>0,
то
и, следовательно, f'(с)≤0.
Если же Dх<0,
то
и f'(с)
≥0.
Следовательно, f'(с)=0.
Геометрически теорема означает, что касательная, проведенная к графику функции в точке (с; f(с)), параллельна оси Ох.
2) Теорема Ролля
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b) = 0. Тогда ее производная f'(х) обращается в нуль хотя бы в одной точке сÎ( a, b).
Доказательство. По условию функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], поэтому она достигает на [a, b] своего наибольшего М и наименьшего m значений. Если М = m, то функция постоянна на [a, b] и ее производная f'(х) = 0 во всех точках (a, b). Пусть теперь М ¹ m, тогда хотя бы одно из этих чисел, например, m ¹ 0. Поэтому существует точка сÎ( a, b) такая, что f(с) = m. Следовательно, по теореме Ферма f'(с) = 0.
Геометрически теорема означает, что если функция y = f(x) удовлетворяет теореме Ролля, то найдется хотя бы одна точка (с; f(с)), гдесÎ(a;b), такая, что касательная к графику функции, проведенная в этой точке, параллельна оси Ох.
3) Теорема о конечных прирощениях или Теорема Лагранжа
Пусть
функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a,
b]
и дифференцируема в интервале (a,
b).
Тогда существует хотя бы одна точка
сÎ(a,
b),для
которой выполняется условие:
.
Доказательство. Составим уравнение хорды АВ, соединяющей точки графика функции A(a; f(a)) и B(b; f(b)):
.
Отсюда
ордината хорды у=
.
Рассмотрим функцию
.
Функция F(x)
непрерывна на отрезке [a,
b]
и дифференцируема на интервале (a,
b),
так как функция f(x)
непрерывна на [a,
b]
и дифференцируема на интервале (a,b).
.
Таким образом, функция F(x)
удовлетворяет всем условиям теоремы
Ролля. Поэтому существует такая точка
сÎ(a,
b),
что
,
откуда получаем утверждение теоремы.
Геометрически теорема Лагранжа означает,
что существует хотя бы одна точка сÎ
(а,
b)
такая, что касательная, проведенная к
графику функции в точке (с;
f
(с)),
параллельна хорде АВ.
4) Теорема об отношении прирощений двух функций
Теорема. Коши. Если
функции g(x)
и h(x)
непрерывны на отрезке [a,b],
дифференцируемы во всех внутренних
точках этого отрезка, причем hў(x)
№ 0 внутри отрезка [a,b],
то существует точка a
< c
<b
в которой выполняется равенство
Доказательство
Заметим,
что g(b)
≠
g(a).
(Если g(b)
= g(a),
то, по теореме Ролля, существует число
c
(a,b)такое,
что g
' (c)
= 0.)
Введем
обозначение:
.
Рассмотрим
функцию
,
которая непре-рывна на [a,b],
дифференцируема на (a,
b)
и F(a)
= F(b)
= 0,
т.е. функция F
удовлетворяет условиям теоремы Ролля.
Следовательно, существует число c (a,b) такое, что F ' (c) = 0.
Так
как
5) Предел отношений двух бесконечно малых величин или правило Лапиталя
Пусть на отрезке [a,b] заданцы функции f(x) и g(x) удолетв. условию теорем Каши. пусть в точке а значение этих функций равно 0. f(a)=0=f(b)
для
таких ф-й справедливо выражение если
сущств. предел отношений производных
этих ф-й
={0/0}
Правило
лапиталя применяется и в случае когда
x
.
5) Предел отношения двух бесконечно больших велечин.
Т.
Пусть на отрезке [a,b]
заданы непрерывные и дифф. функции f(x),
g(x)
кроме точки x=a,
тогда
если существует предел отношения
производных функций существует предел
отношения и этих функций.
6) Формула Тейлора.
Пусть на промежутке содержащем точку x=a задана функция f(x). Пусть функция f(x) непрерывна и диффю внутри этого отрезка причем эта ф-я имеет все производные до n+1 порядка включительно. Тогда ф-я f(x) может быть представлена многочленом вида
Rn(x) - остаточный член.
Если a=0, то формулу Тейлора называют формулой Макларена.