1. Метод решения задачи Коши, основанный на разложении решения в ряд Тейлора

Одним из методов решения задачи Коши является метод, основанный на разложении решения вряд Тейлора.

Пусть на необходимо решить задачу (1). Возьмем производную от уравнения , присутствующего в (1), по :

, . (10)

(Например, если , то ). Дальше можно найти , дифференцируя полученное равенство (10), аналогично и т.д. Подставляя , получим:

Тогда возможно приблизить значение усеченной суммой соответствующего ряда Тейлора, построенного с центром в точке :

,

т.е.

(2)

Однако, если больше радиуса сходимости ряда , то погрешность формулы (2) не стремится к 0. В этом случае сегмент разбивают на части . Будем последовательно получать приближения к значениям :

следующим образом. Если уже найдено, мы вычисляем и тогда приближение функции в точке вычисляются по формуле:

, (3)

в предположении, что область сходимости соответствующего ряда включает в себя отрезок .

Метод Эйлера решения задачи Коши. Геометрический смысл метода Эйлера

Рассмотрим случай использования рассчетной формулы (2) предыдущей лекции, когда . Тогда формула (3) предыдущей лекции примет вид:

(4)

• формула Ейлера.

Геометрический смысл формулы Эйлера представлен на рисунке 1.

Рис.1.

В общем случае на каждом шаге приближения приближенное решение переходит на новую кривую из представленного множества решений. Для некоторых дифференционных уравнений это вызывает большие погрешности. Например, если мы имеем уравнение , погрешность, которую мы имели на первых шагах приближения, будет сильно возрастать. Такое явление называется неустойчивостью дифференционного уравнения.

Рассмотрим уравнение :

, , , , .

Множество решений изображено на рис.2.

Рис.2

Погрешность, которую мы допустили сначала, будет уменьшаться. Такое явление называется устойчивостью дифференционного уравнения.

Этап 1. Дискретизация области.

Этап 2. Дискретизация задачи

Этап 3. Существование и единственность решения дискретной задачи.

Этап 4. Непрерывная зависимость решения дискретной задачи.

Этап 5. Сходимость.

Монотонные матрицы. Достаточное условие монотонности матрицы

Займёмся 3 этапом МКР.

Определение. Матрица обладает свойством монотонности, если из того, что . Неравенства понимаются в покомпонентном смысле.

Достаточное условие монотонности матрицы. Пусть для выполняются:

1) для ;

2) ;

3) (преобладание главной диагонали), тогда обладает свойством монотонности.

Доказательство. Допустим, что это не так, т.е. , но при этом существует такое , для которого . Таких может быть несколько. Пусть такое, что:

Выпишем :

Пришли к противоречию, значит наше допущение ложно.