Лекция 9. Основные законы распределения нсв.

Опр1. Говорят, что НСВ Х имеет равномерный закон распределения на отр. [ a; b], если ее плотность вер-ти имеет вид f(x)= {1/(b-a), a<=x<=b}{ 0, x<a или x> b}

Теорема 1. Фнкция распределения НСВ Х, распределенная по равномерному закону имеет вид F(x)={0, x<=a}{x-a/b-a, a<x<=b}{1, x>b}.

Док-во. Функция распределения F(x) = [cв-во 4 пл-ти вер-ти]=_-∞ ∫^x f(t)dt. 1. x<=a ,=> F(x) = _-∞ ∫^xf(t) dt=_-∞ ∫^x0dt=0. 2.a<x<=b, => F(x) = _-∞ ∫^xf(t) dt=[_-∞ ∫^х=_-∞ ∫^a+ _a ∫^x]= _a∫^xf(t)dt= _a ∫^x (1/b-a)dt=(1/b-a)_a ∫^xdt=(1/b-a)t│_a^b=x-a/b-a. 3. x>b, => F(x) = _-∞ ∫^xf(t) dt=[_-∞ ∫^x= _-∞∫^a+ _a ∫^b+ _b ∫^x]= _a ∫^bf(t)dt= _a ∫^b (1/b-a)dt =1/b-a _a ∫^bdt =(1/b-a)t│_a ^b=b-a/b-a=1.

Теорема 2. МО и дисперсия CВ Х, распределенной по равномерному закону соответственно равны М(Х)= (а+b)/2; D(X)=(b-a)²/12.

Док-во:M(X)=^def_-∞∫^∞xf(x)dx=!_-∞∫^∞=_-∞∫^a(=0)+ _a∫^b+_b∫^∞(=0)!= _a∫^bxdx/b-a=1/b-a _a∫^bxdx=1/b-a(x²/2)!^b_a=b²-a²/2(a-b)=a+b/2

Замечание! Равномерное распределение не имеет моды, а медиана совпадает с МО, т.е. М_е(Х) =(a+b)/2

(ошибки измерения физ велечин при окр рез набл до ближайшего деления)

Опред №2 Говорят, что НСВ Х имеет показательный (экспоненциальный) закон расп-ния с параметром λ, если ее плотность вер-ти имеет вид f(x)={ λ*e^-λx, x>=0} { 0, x<0}.

Теорема 3. Функция расп-ния CВ Х, распределенной по показ. закону, имеет вид F(X)={ 1-e^-λx, x>=0} { 0, x<0 }.

Док-во: _-∞∫^xf(t)dt Пусть x<0 =>_-∞∫^xf(t)dt=_-∞∫^x0dt=0. Пусть x≥0 =>_-∞∫^xf(t)dt=!_-∞∫^x=_-∞∫⁰(=0)+₀∫^x!= ₀∫^xf(t)dt=₀∫^x λe^-λxdt=λ₀∫^x e^-λxdt=λ(e^-λx/-λ)!^x₀=-(e^-λt)!^x₀=-(e^-λx-1)=(-e)^-λx-1

Теорема 4. МО и дисперсия CВ Х,распределенной по показ. закону, соответственно равны М(Х)=1/λ; D(X)= 1/ λ².

Док-во:Проверим для МО. M(X)=^def_-∞∫^∞xf(x)dx=!_-∞∫^∞=_-∞∫⁰(=0)+₀∫^∞!=₀∫^∞xλ e^-λxdx=^def lim _{b→∞ 0}∫^bλxe^-λxdx. ₀∫^bλxe^-λxdx=!интегр по частям!=!u=λx,dv=e^-λxdx, v=∫e^-λxdx=e^-λx/-λ, du=λdx!=[λx*e^-λx/-λ]!^b₀-₀∫^be^-λx λdx /-λ=-[x e^-λx]!^b₀+₀∫^be^-λxdx=-[be^-λb-0]+(e^-λx/-λ)!^b₀= -be^-λb-1/λ (e^-λb-1)= -be^-λb-e^-λb/λ+1/2 =>M(X)=lim _b→∞[-be^-λb-e^-λb/λ+1/2]=1/λ

Опр3 (норм закон распределения). Говорят, что НСВ Х имеет нормальный закон расп-ния (закон Гаусса) с параметрами δ и μ, если ее плотность вероятности имеет вид f(x) = (1/√2π* δ)* e^-(x-μ)^2/2δ^2, (δ>0)/

Замечание. Функция распр-ния CВ Х, распред-ная по норм. закону имеет вид F(X)=(1/√2π* δ)_--∞∫^xe^-(t-μ)^2/2δ^2dt.

Теорема 5. МО, дисперсия и СКО СВ Х, распр-ной по норм. закону соответственно равны М(Х)=μ, D(X)= δ², δ(X)= δ

Замечаение! Утверждение «CВ Х имеет норм. распределение с параметрами μ и δ» кратко записывается Х€ N (μ, δ)

Опр4. Норм.закон распределения CВ Х с парметрами μ=0, δ=1,т.е. N(0;1) назыв. стандартным или нормированным.

Замечание! Плотность вер-ти и ФР СВ Х, распределенной по нормированному закону, имеют вид f₀(x)=(1/√2π )e^-x^2/2 ; F(X) =_-∞∫^x (1/√2π) е^-t^2/2dt. Эти функции табулированы (сущ-ют таблицы их значений).

Свойства CВ Х распред-ной по нормированному закону (X€ N(μ;δ))

1.Вер-ть попадание CВ Х в отрез. [ a;b] P{a<=x<=b}=F₀(b-μ/δ)- F₀(а-μ/δ)

2. вер-ть того, что CВ Х отличается от своего МО по абс. вел-не не больше, чем на ε P{X-μ<=ε}=2F₀(ε/δ)-1.