8.5 Свободные затухающие колебания

Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Их энергия расходуется на работу против сил трения. Поэтому такие колебания затухают, их амплитуда уменьшается.

Свободные затухающие колебания − это колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии колебательной системой.

При малых колебаниях (при небольших скоростях движения) силы сопротивления , где − коэффициент сопротивления среды.

Запишем  закон Ньютона для материальной точки совершающей свободные затухающие колебания, т.е. для материальной точки, движущейся под действием под действием квазиупругой силы и силы сопротивления . Уравнение движения вдоль оси в этом случае будет иметь следующий вид:

или , (8.15)

− дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний;

где − смещение тела из положения равновесия; − масса материальной точки, совершающей колебания под действием квазиупругой силы ; − сила сопротивления; − скорость материальной точки; − коэффициент сопротивления; − ускорение материальной точки; −коэффициент затухания; − циклическая частота собственных незатухающих колебаний.

У равнение свободных затухающих колебаний (решение дифференциального уравнения (8.15))в случае слабого затухания :

(8.16)

где − смещение тела из положения равновесия; − амплитуда свободных затухающих колебаний; − амплитуда колебаний в начальный момент времени ; − циклическая частота затухающих колебаний, − период затухающих колебаний.

Таким образом, свободные затухающие колебания − это колебания с амплитудой , уменьшающейся по экспоненциальному закону, и постоянной частотой .

Время релаксации − промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз: , т.е. .

Декремент затухания: ,

где и − амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период.

Логарифмический декремент затухания: ,

− величина, обратно пропорциональная количеству колебаний , которое совершит система за время , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз.

В случае большого трения решением дифференциального уравнения (8.15) является:

, где . (8.17)

График зависимости в этом случае представляет простую экспоненциальную функцию.

8.6 Вынужденные колебания

Вынужденные колебания − это колебания, которые совершаются при наличии внешнего периодически изменяющегося воздействия.

Запишем  закон Ньютона для материальной точки, совершающей вынужденные колебания. В этом случае материальная точка движется под действием квазиупругой силы , силы сопротивления и изменяющейся по гармоническому закону вынуждающей силы :

, или . (8.18)

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при наличии силы сопротивления и изменяющейся по гармоническому закону вынуждающей силы :

, (8.19)

где − смещение тела из положения равновесия; − масса материальной точки (тела), − скорость материальной точки; − коэффициент сопротивления; − ускорение материальной точки; −коэффициент затухания; − циклическая частота собственных незатухающих колебаний.

Уравнение (8.19) является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Его решение представляется в виде суммы:

, (8.20)

где − общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения (оно соответствует свободным затухающим колебаниям (8.16));

− частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Уравнение (8.20) описывает поведение системы, совершающей вынужденные колебания. В нем первое слагаемое играет существенную роль только вначале. С течением времени экспоненциально уменьшается и через некоторое время им можно пренебречь. В течение этого времени происходит установление вынужденных колебаний, а сам процесс их установления называется переходным режимом. Таким образом, при установившемся режиме колебаний в решении (8.20) сохраняется только второе слагаемое .

Уравнение установившихся вынужденных колебаний:

, (8.20)

где − смещение тела из положения равновесия;

− циклическая частота вынужденных колебаний;

− амплитуда вынужденных колебаний; (8.21)

− разность фаз между колебаниями вынуждающей силы и тела. (8.22)

Таким образом, под действием внешней гармонической силы система совершает колебания с частотой этой силы. Фаза и амплитуда этих колебаний определяются как свойствами самой силы, так параметрами системы.

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения между циклическими частотами вынуждающего воздействия и собственных колебаний . Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление − возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней вынуждающей силы с резонансной частотой колебаний , называется резонансом, а соответствующая частота − резонансной частотой.

Резонансная частота и резонансная амплитуда вынужденных колебаний системы:

, (8.23)

. (8.24)

Зависимость амплитуды установившихся вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Проанализируем эту зависимость, используя выражение (8.22):

П ри малом затухании зависимость , которая называется резонансной кривой, имеет резкий и узкий максимум при резонансной частоте , причем . Если затухания нет , то . При увеличении коэффициента затухания высота резонансной кривой в максимуме уменьшается, а резонансная частота смещается влево от значения . При очень большом затухании , выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается, т.е. с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает.

При частоте вынуждающей силы все резонансные кривые приходят к одному и тому же предельному значению . Это значение представляет собой смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы .

При частоте вынуждающей силы все резонансные кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте вынуждающая сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместится из положения равновесия.